Система (3) дополняется начальным условием вида
~y
j,k
(0) =
Z
V
j
~u
0
ϕ
j,k
dV,
(4)
где
~u
0
(
x
1
, x
2
)
— начальное распределение консервативных перемен-
ных.
Для приближенного решения задачи Римана для системы МГД
уравнений используется ряд методов с выделением разрывов, такие
как HLL, HLLC, HLLD [4, 5]. Метод HLLD позволяет получить наи-
лучшее разрешение разрывов, но во многих случаях приводит к воз-
никновению численной немонотонности в решении. В этих случаях
используется более диссипативный численный поток HLL. При расче-
те интегралы заменяются квадратурными формулами, точность кото-
рых согласована с порядком метода. Решение задачи Коши (3), (4) про-
водится численным интегрированием явным методом Рунге–Кутты,
шаг по времени
Δ
t
определяется динамически из условия устойчи-
вости Куранта–Фридрихса–Леви:
max
i
|
λ
i
|
Δ
t
h
min
≤
1
, где
h
min
— длина
наименьшего ребра ячейки в сетке,
λ
i
— собственные числа системы
(1) на предыдущем шаге по времени.
Для сохранения монотонности решения, а также для предотвра-
щения появления в решении отрицательных значений плотности и
давления в случае применения метода второго порядка точности ис-
пользуются лимитеры — ограничители наклона решения в ячейке [4]. В
программе PLASMA реализован “TVB minmod” лимитер для кусочно-
линейных функций [3, 4]. Так как процедура лимитирования магнит-
ного поля приводит к накоплению численного магнитного заряда, она
применяется только к величинам, используемым при вычислении по-
токов на границах ячеек. Лимитирование проводится для локальных
характеристических переменных.
Для поддержания бездивергентности магнитного поля происходит
пересчет магнитных составляющих потоков, получаемых в результа-
те решения задачи Римана [6]. Аппроксимация граничных условий
проведена методом фиктивной ячейки.
Нахождение решения системы (1) методом RKDG — вычислитель-
но сложная задача и при достаточно больших размерах сетки тре-
бует применения параллельных вычислительных технологий. Парал-
лельный вариант программы реализован при помощи технологии MPI
(Message Passing Interface) [7] и основан на разбиении исходной обла-
сти на подобласти, решение в каждой из которых рассчитывается от-
дельным вычислительным модулем. В этом случае алгоритм решения
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 4
