5 / 17
В.И. Горбачев
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
искать из граничных условий и общего решения уравнения изогнутой оси
стержня.
Внутренние силовые факторы.
В произвольной точке
3
0
x L
стержня
мысленно проведем поперечное сечение. Рассмотрим равновесие правой части
стержня. Заменим действие отброшенной левой части результирующими век-
торами силы
3
( )
Q x
и момента
3
( ),
M x
приложенными в центре правого сече-
ния, при этом
3
3
3
3
3
3
3
( )
( ) ;
( )
( )
(
)
( ) .
L
L
L
x
x
x
Q x
q y dy M x
m y dy x y e q y dy
(12)
Здесь
1 2 3
, ,
e e e
— векторы ортонормированного базиса декартовой системы
координат. Векторы
3
( )
Q x
и
3
( )
M x
называют внутренними силовыми факто-
рами. Согласно (12), вектор
i
i i
Q Q e
положителен, если он направлен в поло-
жительном направлении оси ,
i
x
а вектор
0,
i
i i
M M e
если он вращает сече-
ние вокруг оси
i
x
против часовой стрелки при взгляде с положительного
направления оси .
i
x
На левой стороне сечения положительные внутренние си-
ловые факторы имеют обратные направления по сравнению с правой стороной.
Составляя уравнения равновесия левой части стержня, получаем другое выра-
жение для внутренних силовых факторов
3
3
3
3
3
0
0
0
( ) ,
( )
(
)
( ) .
x
x
x
Q q y dy M m y dy x y e q y dy
(13)
Вычитая из формул (12) соответствующие формулы (13), определяем усло-
вия на внешние силы и моменты, при выполнении которых весь стержень нахо-
дится в равновесии:
3
0
0
0
( )
0;
( )
( )
0.
L
L
L
q y dy
m y dy ye q y dy
Связь внутренних силовых факторов с напряжениями в поперечном сече-
нии.
Рассмотрим левую часть стержня. Действие отброшенной правой части заме-
няем распределенным по сечению вектором напряжения
3 3 1 2 3
( , , ) .
i
i
S
x x x e
Век-
торы
3
( )
Q x
и
3
( )
M x
есть результат приведения к центру сечения вектора напря-
жения
3 3
:
i i
S e
3
3
3
3 1 2 3
( )
( , , ) ;
i i
i
i
i
i
F
F
F
Q Q e S dF dF e Q x
x x x dF
(14)
3
3
3
3 1 2 3
( )
( , , ) ,
i i
J J
i i
i
ijk J k
F
F
F
M M e r S dF x e
e dF M x
x x x x dF
(15)
где
ijk
— символы Леви-Чивиты [1]. Последнюю из формул (15) для моментов
расписывают следующим образом: