8 / 17
Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
63
3
3
3
3
3
3
3 1 2 3
1
2 3 1 2 3
2
1 3 1 2 3
( )
( )
( )
2
2
11
3 1 2 3
22
3 1 2 3
2
1
( )
( )
12
21
1 2 3 1 2 3
( )
( , , ) ;
( , , ) ;
( , , ) ;
( , , ) ;
( , , ) ;
( , , ) .
F x
F x
F x
F x
F x
F x
A E x x x dF B
x E x x x dF B
x E x x x dF
D x E x x x dF D x E x x x dF
D D x x E x x x dF
В простейшей теории всего шесть независимых жесткостей. Определяющие
соотношения (23) легко обратить
;
,
I I
I
I
IJ J
aT b M b T d M
где
1
1 2
2
,
;
M M M M
1
1
1
1
1
;
;
.
I J
I
K
K IJ
KI
IK
IJ
K
L KL
b b
a
b aB D aD B d D
A B D B
a
Здесь
1
IJ
D
— коэффициенты матрицы, обратной к симметричной матрице
.
IJ
D
Дифференциальные уравнения простейшей теории неоднородного
стержня.
Подставим формулы (23) в уравнения Журавского (18), учтем кине-
матические соотношения (21) и получим связанную систему обыкновенных
дифференциальных уравнений относительно компонент вектора перемещений
оси сопутствующего стержня
3 1 2 2 1
3
3
1 2
2 1
(
)
; (
)
,
I
I
I
I
Aw B w B w q B w D w D w p
(25)
где
1
1 2 2
2 1
;
.
p m q p m q
Система уравнений (25) записана для общего
случая стержня с переменными по сечению и по длине продольным модулем
Юнга и переменной по длине площадью поперечного сечения. Она представля-
ет собой связанную систему из трех обыкновенных дифференциальных уравне-
ний четвертого порядка с переменными коэффициентами. В случае главных
центральных осей и постоянного по сечению модуля Юнга система (25) расщеп-
ляется на три независимых уравнения
3 3
3
3 11 2
1
3 22 1
2
(
)
; (
)
; (
)
.
E Fw q E J w p E J w p
(26)
По сути, изложенная выше теория является простейшей теорией неодно-
родного стержня, основанной на классической гипотезе плоских сечений и на
гипотезе о независимости деформирования продольных «волокон» стержня.
Инженерная теория изгиба неоднородного стержня.
Пусть перемеще-
ния в однородном сопутствующем стержне определяют по приближенной фор-
муле (19).
Ряды для перемещений и напряжений в инженерной теории неоднородно-
го стержня.
После подстановки
выражения (19) в формулы (5) и (6) получим
приближенные формулы для перемещений и напряжений в неоднородном
стержне
( 1)
( 2)
33( )
33( )
33 ( )
3
0
( 1)
;
q
q
i
i
i q
K i q
i K q K
q
u v
N w x N q N w
(27)
(24)