12 / 17
Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
67
3
3
3
0
3
0
0
0
1
3
2
2
2
3
1
1
0
0
ˆ ( ) ;
(
)
( ) ,
(
)
( ) .
[
]
[
]
[
]
x
I I
x
x
J J
J J
w aT b M y dy
w x y b T d M y dy w x y b T d M y dy
(42)
Коэффициенты податливости в выражениях (42) могут быть функциями
продольной координаты вследствие переменных по длине сечений и модулей
упругости материала стержня. Далее по формулам (27) и (28) при
q
= 0 находят
перемещения и напряжения в неоднородном стержне в нулевом приближении
3
33
3
33
33
( )
( )
( ) ;
i
i
i K K i
K i
i K
K
u w x w N x w x N x N x w
(43)
0
0
33
3333
2 3333 33332
1
1
ˆ
I
J
I
J
C aT b M x C C
b T d M
0
1 3333 33331
2
2
.
J J
x C C
b T d M
(44)
Для получения конкретных числовых результатов в нулевом приближении
необходимо найти структурные функции
33
i
N
и
33
.
i K
N
Соответствующие урав-
нения для них следуют из (9)
33
33
33
33
33
33
33
0;
,
ijmn m n ij
j
o
ijmn m K n ijmK m
iKmn m n iK
iK j
C N C
C N C N C C N C
(45)
где
33
33
33
.
o
iKmn m n iK
iK
F
C C N C
(46)
Уравнения (45) зависят от функциональной зависимости модулей упруго-
сти и от координат. В частности, в случае неоднородного в поперечном сечении
стержня модули упругости зависят от координат
1 2
,
x x
точки в сечении. От
этих координат также будут зависеть
N
-функции и уравнения (4) становятся
уравнениями в частных производных с переменными коэффициентами в обла-
сти поперечного сечения.
Вычисление структурных функций неоднородной по толщине балки.
Пусть неоднородная по толщине балка имеет сечение в виде прямоугольника
1 2
h h
по осям, причем
2
1
.
h h
Например, она
состоит из двух слоев различных материалов,
склеенных по контактной поверхности (рисунок).
Модули упругости зависят только от координаты
по толщине, т. е.
2
( ).
ijkl
ijkl
С C x
В рассматривае-
мом случае (при ширине балки много большей ее
толщины)
N
-функции также можно полагать
функциями координаты
2
.
x
При этом уравнения
(45) становятся обыкновенными дифференциаль-
Неоднородная по толщине
балка