11 / 17
В.И. Горбачев
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
ˆ ;
.
I I
I
I
IJ J
T A B M B D
(35)
Несложно получить обратные соотношения к (35), выражающие продольную
деформацию и кривизны осевой линии через внутренние силовые факторы. Та-
кие соотношения удобны в статически определенных задачах
ˆ ;
,
I I
I
I
IJ J
aT b M b T d M
(36)
или
3
1
2
1
1
2
1
2
2
ˆ ;
;
,
I I
J J
J J
w aT b M w b T d M w b T d M
(37)
где
1
1
1
1
ˆ
1
ˆ ˆ
;
;
;
.
ˆ
I J
I
K
I
K IJ
KI
IK
IJ
K
L KL
b b
a
b aB D b aD B d D
a
A B D B
(38)
Коэффициенты
ˆ, , ,
I I IJ
a b b d
представляют собой податливости неоднород-
ного стержня. Подстановка соотношений (35) в уравнения Журавского дает си-
стему уравнений изгиба неоднородной балки
3 1 2 2 1
3 3
3
1 2
2 1
ˆ
ˆ
( );
.
I
I
I
I
I
IK K
Aw B w B w q x
B w D w D w p m q
(39)
Граничные условия.
Для выделения единственного решения системы ис-
пользуют точно такие же граничные условия, как и в классическом случае. Всего
10 условий: пять на одном конце и пять на другом.
Изгиб неоднородной консоли силами и моментами.
Пусть, например, кон-
сольный стержень, закреплен на конце
3
0
x
и нагружен на конце
3
x L
про-
дольной силой
0
T
и поперечными силами
0 0
1 2
,
,
Q Q
а также двумя изгибающими
моментами
0
0
1
2
,
.
M M
Полный комплект граничных условий будет следующим:
3
3
3
3
3
0
3 1 2 2 1
0
0
1 3 11 2 12 1
2 3 21 2
22 1
1
2
0
0
1 3 11 2 12 1
2 3 21 2
22 1
1
2
ˆ
ˆ
(0) 0;
(0) 0;
;
;
;
;
.
i
I
x L
x L
x L
x L
x L
w
w
Aw B w B w T
B w D w D w M B w D w D w
M
B w D w D w
Q B w D w D w
Q
(40)
В рассматриваемом примере не понадобятся статические граничные усло-
вия, поскольку задача является статически определенной и внутренние силовые
факторы находятся без решения уравнений (39):
0
0
0
0
3
;
;
(
).
I
I
IS
I
I
S
T T Q Q M M Q L x
(41)
Из (41) и (37) получаем уравнения для перемещений оси стержня, которые
легко интегрируются и дают следующие выражения для перемещений оси неод-
нородного стержня: