Previous Page  6 / 17 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 17 Next Page
Page Background

Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

61

1 3

2 33

2 3

2 33

3 3

1 32 2 31

( )

;

( )

;

( ) (

) .

F

F

F

M x x dF M x

x dF M x

x x dF

 

  

   

(16)

Крутящий момент

3 3

( )

M x

равен нулю в том случае, когда касательные

напряжения в каждом поперечном сечении стержня подчиняются следующему

условию:

1 32 2 31

(

)

0.

F

x x dF

  

Именно внутренние силовые факторы являются основными искомыми ве-

личинами в сопротивлении материалов и в строительной механике стержневых

конструкций. Отметим, что по известным напряжениям однозначно находят

все внутренние силовые факторы. Однако обратная задача восстановления

напряжений в поперечном сечении стержня по внутренним силовым факторам,

в общем случае, не имеет однозначного решения. Для однозначного решения

этой задачи необходимо использовать гипотезы о распределении напряжений

по сечению. Указанные гипотезы должны содержать достаточное число неиз-

вестных функций координаты

3

,

x

которые можно было бы однозначно выра-

зить через внутренние силовые факторы.

Уравнения Журавского.

Дифференцируя по

3

x

уравнения (13), получаем

уравнения Журавского [7], которые являются уравнениями равновесия элемен-

та

3

dx

оси стержня, нагруженного внутренними силами и распределенными

вдоль оси внешними силами [8]

3

3

;

.

Q q M m e Q M m e q

          

 

  

Запишем эти уравнения покомпонентно, введя другое (более привычное)

обозначение для продольной силы

3

3 3

( )

( ):

T x Q x

3 1

1 2

2 1

1 2 2

2 1

;

;

;

;

,

T q Q q Q q M m Q M m Q

 

 

 

  

  

(17)

или

3 1

1 2

2

2 1

;

;

.

T q M m q M m q

 

  

  

(18)

Отметим, что уравнения Журавского не зависят от статической определенности

или неопределенности стержня, а также от материала, из которого он изготов-

лен, т. е. фактически они не зависят от типа определяющих соотношений, свя-

зывающих внутренние силовые факторы с деформацией и кривизнами оси

стержня.

Кинематическая гипотеза Бернулли — Эйлера.

Перемещения при изгибе

и продольном растяжении (сжатии) однородного изотропного стержня опреде-

ляют в соответствии с гипотезой плоских сечений [9] по формулам

3

3

,3 3

( )

( ).

i

i

i K K

v w x

x w x

 

(19)

Здесь

3

( )

i

w x

— поперечные перемещения точек оси стержня (прогибы);

3 3

( )

w x

— продольное перемещение. Далее для краткости верхний индекс