Используя результат (42), для производных
∂
2
χ/∂t
2
на поверхно-
стях
Γ
i
получаем
∂
2
χ
∂t
2
Γ
1
∂
2
χ
∂t
2
Γ
2
=
d
2
dt
2
χ
Γ
1
χ
Γ
2
=
d
2
dt
2
C
11
C
12
C
21
C
22
w
1
w
2
=
d
2
dt
2
ˆ
Cw,
(44)
и, следовательно, исходную задачу (26)–(29) можно переписать в
векторно-матричной форме
ˆ
C
d
2
w
dt
2
+
γ
ˆ
D
dw
dt
+
g
ˆ
Bw
= ˆ
F
(
t
) +
c
(
t
)
η
0
;
w
(0) =
w
0
,
˙
w
(0) =
w
1
,
(45)
где
ˆ
C
=
C
11
C
12
C
21
C
22
,
ˆ
D
=
˜
V
0
β
0
0 ˜
V
Σ
β
+
I
,
ˆ
B
=
I
0
0 0
,
ˆ
F
(
t
) = (
f
1
, f
2
)
т
, η
0
= (
I
1
, I
2
)
т
, w
= (
w
1
, w
2
)
т
, β
=
γ
−
1
.
(46)
Введем ортопроектор
P
H
на пространство
H
:=
L
2
,
Γ
и, применив
оператор
P
H
к обеим частям (45), избавимся от постоянной
c
(
t
)
:
C
d
2
w
dt
2
+
γD
dw
dt
+
gBw
=
F
(
t
);
w
(0) =
w
0
,
˙
w
(0) =
w
0
1
,
(47)
где
C
=
P
H
ˆ
CP
H
,
D
=
P
H
ˆ
DP
H
,
B
=
P
H
ˆ
BP
H
,
F
=
P
H
ˆ
FP
H
. В итоге
приходим к выводу, сформулированному в следующей теореме.
Теорема 1.
Задача
(26)
− −
(29)
о малых потенциальных движе-
ниях идеальной жидкости, имеющей свободную поверхность
Γ
1
и вы-
текающей через поверхность слива
Γ
2
, равносильна задаче Коши для
линейного дифференциального операторного уравнения второго по-
рядка (47) в гильбертовом пространстве
H
.
Свойства операторов.
Сформулируем кратко основные свойства
операторных коэффициентов уравнения (47). Свойство оператора
C
было определено ранее, а именно
0
< C
2 =
∞
, где
=
∞
— класс
компактных операторов в гильбертовом пространстве. Из (50) следует,
что
D
и
B
ограничены в
H
:=
L
2
,
Γ
и
B
>
0
, а свойства оператора
D
зависят от значений параметров
β
и
˜
V
0
( ˜
V
Σ
)
.
Лемма 2.
Оператор
D
— самосопряженный, ограниченный и огра-
ниченный снизу оператор. Пусть
V
0
= 0 (
V
Σ
= 0)
— квазистацио-
нарная постановка задачи, тогда оператор
D
— неотрицательный,
D
>
0
. Если
V
0
>
0 (
V
Σ
>
0)
, то оператор
D
— положительный,
D >
0
.
108
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
