МЕХАНИКА
УДК 517.9.532
М. И. С т е п а н о в а, А. Н. Т е м н о в
МАЛЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ
C ПОВЕРХНОСТНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ
Поставлена и частично исследована задача о малых движениях
несжимаемой жидкости, вытекающей из бака произвольной фор-
мы через плоскую поверхность слива, решение которой может
быть использовано при анализе эффекта перераспределения топ-
лива в целях получения максимального прироста энерговооружен-
ности ракет-носителей пакетной схемы.
E-mail:
Ключевые слова
:
уравнение Лапласа, уравнение Бернулли, невозмущен-
ное движение жидкости, закон баланса энергии, операторы в гильберто-
вом пространстве, задача Коши, эволюционная задача.
Постановка задачи.
Задача о малых колебаниях несжимаемой иде-
альной жидкости, частично заполняющей неподвижный бак произ-
вольной формы, рассматривалась в ряде работ, например [1–3]. В на-
стоящей работе рассмотрена задача о малых колебаниях несжимаемой
жидкости, частично заполняющей бак произвольной формы, вытека-
ющей через плоское дно. Рассматриваемая задача может быть описана
уравнениями гидродинамики, линеаризованными вблизи невозмущен-
ного состояния.
За невозмущенное состояние примем установившееся движение
вязкой жидкости, характеризуемое средней постоянной скоростью
опускания
V
0
невозмущенной свободной поверхности
Γ
0
и средней
постоянной скоростью вытекания жидкости
V
0
Σ
. Введем неподвижную
систему координат
OX
1
X
2
X
3
с началом на поверхности вытекания
жидкости и обозначим через
p
0
(
x, t
)
,
~V
0
(
x
)
давление и скорость в
невозмущенном движении (
x
= (
x
1
, x
2
, x
3
)
), через
τ
и
S
— область,
занимаемую жидкостью, и смачиваемую твердую поверхность бака,
рассматриваемую как кусочно-гладкую границу области
τ
. Полагаем
также, что в невозмущенном движении свободная поверхность
Γ
0
и поверхность вытекания жидкости
Σ
перпендикулярны вектору
~f
0
интенсивности внешнего поля массовых сил.
Поверхность вытекания жидкости (для краткости далее поверх-
ность слива
Σ
) — это поверхность перфорированной пластины забор-
ного устройства. Установившееся движение вязкой несжимаемой жид-
кости в области
τ
может быть представлено системой уравнений [4]
~V
0
∙ r
~V
0
−
ν
Δ
~V
0
=
−
1
ρ
r
p
0
+
~f
0
,
r ∙
~V
0
= 0
(1)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
99
