которое необходимо дополнить уравнением неразрывности
r ∙
~V
= 0
,
условием непротекания через смачиваемую поверхность
S
в виде
~V
∙
~n
= 0
и начальными условиями
~w
(
x,
0) =
~w
0
(
x
);
∂ ~w
∂t
(
x,
0) =
~V
0
(
x
)
.
(14)
Проинтегрировав уравнение неразрывности по объему, занимае-
мому жидкостью, с учетом соотношений (8), (14) и (15) для любого
момента времени
t
, включая
t
= 0
, получим
Z
Γ
0
~V
∙
~n
Γ
ds
=
Z
Σ
~V
∙
~n
Σ
ds,
(15)
т.е. дополнительное интегральное условие, которому должны подчи-
няться поле скоростей и поле смещений в рассматриваемой задаче.
Постановка краевой задачи для потенциала скоростей.
При рас-
смотрении движений идеальной жидкости удобно ввести понятие по-
тенциала скоростей
Φ(
x, t
)
, который при малых движениях связан с
полем смещений
~w
(
x, t
)
и полем скоростей
~V
(
x, t
)
очевидными фор-
мулами
~w
(
x, t
) =
Z
r
Φ(
x, t
)
dt, ~V
(
x, t
) =
r
Φ
.
(16)
Подставив выражения (16) в уравнение Эйлера, получим линеаризо-
ванный интеграл Коши–Лагранжа, выраженный через потенциал cко-
ростей:
∂
Φ
∂t
+
~V
0
(
x
1
, x
2
)
∙ r
Φ +
p
ρ
+
g
(
x
3
−
H
(
t
)) =
C
(
t
)
,
(17)
где
C
(
t
)
— произвольная функция времени. Предполагая возмущен-
ное движение жидкости во всей области
Q
потенциальным и несжи-
маемым, сформулируем краевую задачу для определения потенциала
Φ(
x, t
)
. Для удобства формулировки задачи переобозначим величины
на поверхностях
Γ
0
и
Σ
, присвоив индексы 1, 2 соответственно. Из
уравнения (17), используя выражения (11), (12) и (16), уравнение не-
разрывности, условие непротекания и начальные условия, получаем
ΔΦ = 0
в
Q
;
∂
Φ
∂n
= 0
на
S
;
(18)
∂
Φ
∂t
+
~V
0
(
H
)
∙ r
Φ +
g ~w
∙
~n
1
=
f
1
(
t
) +
c
(
t
)
на
Γ
1
;
(19)
∂
Φ
∂t
+
~V
0
(0)
∙ r
Φ +
γ
∂ ~w
∂t
∙
~n
2
=
f
2
(
t
) +
c
(
t
)
на
Γ
2
;
(20)
w
i
=
w
0
i
(
x
1
, x
2
)
,
∂w
i
∂t
=
V
0
i
(
x
1
, x
2
)
,
(21)
102
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
