где
w
1
=
Z
t
∂
Φ
∂x
3
(
x
1
, x
2
, H, t
)
dt
,
˙
w
2
=
∂
Φ
∂x
3
(
x
1
, x
2
,
0
, t
)
— смещение и
скорость частиц жидкости на поверхностях
Γ
0
и
Σ
соответственно;
∂
∂n
— производная по внешней нормали к поверхности
S
.
Замечание.
В уравнениях (19), (20) направлению вектора
~V
0
к дни-
щу бака отвечает положительное значение
V
0
(
x
1
,
x
2
)
.
Закон баланса энергии.
Пусть существует классическое решение
задачи (18)–(21). Умножим динамические граничные условия (19), (20)
на
V
ni
=
∂
Φ
∂n
i
(
i
= 1
,
2)
и проинтегрируем по поверхностям
Γ
0
и
Σ
.
Сложим полученные выражения и учтем кинематические и интеграль-
ные соотношения на
Γ
0
и
Σ
. В результате получим
Z
Γ
0
∂
Φ
∂t
∂
Φ
∂n
1
+
~V
0
∙ r
Φ
∂
Φ
∂n
1
d
Γ
0
+
Z
Σ
∂
Φ
∂t
∂
Φ
∂n
2
+
~V
0
∙ r
Φ
∂
Φ
∂n
2
d
Σ+
+
Z
Γ
0
gw
1
∂
Φ
∂n
1
d
Γ
0
+
Z
Σ
γV
Σ
∂
Φ
∂n
2
d
Σ =
Z
Γ
0
f
1
∂
Φ
∂n
1
d
Γ
0
+
Z
Σ
f
2
∂
Φ
∂n
2
d
Σ
.
(22)
Преобразуем первые два слагаемые в (22), воспользовавшись усло-
виями непротекания и гармоничности функции
Φ
в
Q
. Умножив пре-
образованное выражение на плотность жидкости
ρ
=
const, придем к
закону изменения энергии
d
dt
(
Т
+
П
) +
Z
Γ
0
V
0
V
2
3
d
Γ
0
−
Z
Σ
V
Σ
V
2
3
d
Σ =
−
2Φ +
N
e
,
(23)
где
T
= 0
,
5
Z
τ
ρ
(
r
Φ)
2
dτ
,
П
= 0
,
5
Z
Γ
0
ρgw
2
Γ
d
Γ
0
,
Φ = 0
,
5
Z
Σ
ργV
2
Σ
d
Σ
— кинетическая и потенциальная энергии и диссипативная функция
жидкости соответственно;
N
(
e
)
=
ρ
Z
Γ
0
f
1
∂
Φ
∂n
1
d
Γ+
ρ
Z
Σ
f
2
∂
Φ
∂n
2
d
Σ
— мощ-
ность внешних возмущений.
Закон баланса энергии показывает, что только часть мощности
внешнего возмущения расходуется на сообщение полной энергии жид-
кости, другая часть тратится на работу сил сопротивления и на работу
взаимодействия малых движений свободной поверхности жидкости и
малых возмущений скорости на поверхности слива с невозмущенным
потоком жидкости. При отсутствии внешних воздействий и невозму-
щенного потока жидкости изменение всей энергии системы равно по
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
103
