Разрешимость эволюционной задачи.
Перейдем к исследованию
задачи Коши (47). Выполним переход от задачи (47) для линейно-
го дифференциального уравнения второго порядка к задаче Коши для
линейного дифференциального уравнения первого порядка, разрешен-
ного относительно старшей производной. Для этого введем новую ис-
комую функцию
v
(
t
)
с помощью соотношения
−
i
√
g B
1
/
2
w
=
dv/dt
(
v
(0) = 0)
.
Продифференцировав это соотношение, запишем задачу (47) в виде
системы уравнений и, введя новые обозначения, получаем задачу в
сдвоенном гильбертовом пространстве
H
2
=
H H
A
dy
dt
+
B
0
y
=
f
0
, y
(0) =
y
0
= (
w
1
,
−
i
√
gB
1
/
2
w
0
)
,
(48)
где
y
(
t
) :=
dw
dt
,
dv
dt
, A
=
C
0
0
I
,
B
0
=
γDi
√
g B
1
/
2
i
√
g B
1
/
2
0
!
, f
0
=
F
0
.
Проведем далее замену функции
y
(
t
)
по формуле
z
(
t
) =
A
1
/
2
y
(
t
)
и применим слева к уравнению (48) оператор
A
−
1
/
2
, тогда приходим к
задаче Коши
dz
d t
+
A
0
z
=
F
0
, z
(0) =
z
0
=
A
1
/
2
y
0
= (
A
1
/
2
w
1
,
−
iA
1
/
2
√
gB
1
/
2
w
0
)
,
(49)
где
F
0
=
A
−
1
/
2
F
, а
A
0
=
A
−
1
/
2
B
0
A
−
1
/
2
— самосопряженный не-
ограниченный положительный оператор в
H
2
;
A
0
>
0
,
(
A
0
z,
(
z
0
) ) =
= (
z, A
0
(
z
0
) )
и, следовательно, оператор
−
A
0
порождает аналитиче-
скую полугруппу операторов
U
(
t
) := exp(
−
A
0
t
)
. Пусть
z
0
2
H
2
и
F
0
(
t
)
2
H
2
является непрерывной функцией
t
, тогда задача (49) имеет
единственное обобщенное решение, выражаемое формулой
z
(
t
) =
U
(
t
)
z
0
+
t
Z
0
U
(
t
−
τ
)
F
0
(
τ
)
dτ .
Это решение является непрерывной функцией
t
со значениями в
H
2
.
Из доказанной непрерывности по
t
функции
z
(
t
)
следует непре-
рывность функций
y
(
t
)
в
H
2
,
dw/dt
,
dv/dt
,
w
(
t
)
в
H
и функции
χ
(
t
)
в
H
1
h
1
,S
(
Q
)
.
Теорема 2.
Пусть для начальных данных
(29)
задачи
(26)
–
(28)
выполнены условия
w
0
2
H
−
1
/
2
Γ
(Γ)
,
w
1
2
H
−
1
/
2
Γ
(Γ)
и
χ
2
H
1
h
1
,S
(
Q
)
,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
109
