модулю удвоенному значению диссипативной функции
Φ
, которая ха-
рактеризует работу сил сопротивления, возникающих на поверхности
слива
Σ
при малых отклонениях скоростей частиц жидкости от их
невозмущенных значений.
Для выяснения работы взаимодействия малых движений жидкости
с невозмущенным потоком преобразуем крайние слагаемые в левой
части выражения (23), принимая во внимание уравнение неразрывно-
сти, граничные условия и теорему Гаусса–Остроградского
Z
Γ
0
V
0
V
2
3
d
Γ
0
−
Z
Σ
V
Σ
V
2
3
d
Σ =
I
S
V
0
V
3
~V
∙
~n dS
=
=
Z
τ
r ∙
(
V
0
V
3
~V
)
dτ
=
Z
τ
(
V
0
r
V
3
+ (
~V
∙ r
V
0
)
~e
3
)
∙
~V dτ
=
=
Z
ψ
(
~V
0
∙ r
~V
+
~V
∙ r
~V
0
)
∙
~V dτ
=
ρ
−
1
Z
τ
r ∙
~Fdτ
+
Z
τ
Rdτ ,
(24)
где
~F
= 0
,
5
ρ ~V
0
V
2
, а
Z
τ
r ∙
~Fdτ
— количество кинетической энер-
гии волновых движений, обусловленное невозмущенным потоком;
R
= (
ρV
3
V
1
~e
1
+
ρV
3
V
2
~e
2
+
ρV
3
V
3
~e
3
)
∙ r
V
0
;
Z
τ
Rdτ
— работа напряже-
ний Рейнольдса на градиенте скорости невозмущенного потока. Закон
баланса энергии приобретает вид
d
dt
(
Т
+
П
) +
Z
τ
r ∙
~Fdτ
=
−
Z
τ
Rdτ
−
2Φ +
N
e
.
(25)
Из (25) следует, что в отсутствие внешнего возмущения, даже если
пренебречь диссипацией, интегральная волновая энергия не будет со-
храняться из-за взаимодействия волн с невозмущенным потоком. Ис-
следование задачи (18)–(21) для жидкости, заполняющей полость про-
извольной формы, удобно проводить, если предварительно придать
задаче операторную трактовку.
Операторная формулировка задачи.
Для дальнейшего исследо-
вания введем обозначения
Γ
0
,
Σ
для поверхностей и
τ
для области
(пусть
Γ
0
=: Γ
1
,
Σ =: Γ
2
,
τ
=:
Q
) и введем потенциал смещений —
функцию
χ
(
x, t
)
;
Φ(
x, t
) =
∂χ/∂t
. Задача для определения функции
χ
(
x, t
)
формулируется на основе (18)–(21):
Δ
χ
= 0
в
Q
;
∂χ
∂n
= 0
на
S
;
(26)
104
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
