Получим теперь дифференциальное уравнение для функций
w
i
(
t
)
.
С этой целью введем пространство
H
1
(
Q
)
функций с нормой
k
χ
k
H
1
(
Q
)
2
=
Z
Q
|r
χ
|
2
dQ
+
Z
Γ
1
χd
Γ
1
+
Z
Γ
2
χd
Γ
2
2
(31)
и его подпространство
H
1
Γ
(
Q
)
функций с нормой
k
χ
k
2
H
1
Γ
(
Q
)
=
Z
Q
|r
χ
|
2
dQ,
(32)
для элементов которого выполняется условие
Z
Γ
1
χ d
Γ
1
+
Z
Γ
2
χ d
Γ
2
= 0
,
Z
Γ
j
χ d
Γ
j
6
= 0
,
(33)
а также пространство
H
1
h
1
,S
(
Q
)
гармонических функций, для которых
производная по нормали равна нулю на
S
.
Для приведения исходной задачи (26)–(29) к операторному уравне-
нию, следуя [5], рассмотрим вспомогательную задачу Неймана:
Δ
χ
= 0
в
Q,
∂χ
∂n
= 0
на
S,
∂χ
∂n
j
=
w
j
на
Γ
j
,
2
X
j
=1
χ d
Γ
j
= 0
,
(34)
для которой необходимым условием разрешимости является равенство
Z
Γ
1
w
1
d
Γ
1
=
Z
Γ
2
w
2
d
Γ
2
.
(35)
Определение 1.
Назовем обобщенным решением задачи (34) функ-
цию
χ
2
H
1
h
1
,S
(
Q
)
, для которой тождество
(
χ, ψ
)
H
1
Γ
(
Q
)
=
−
Z
Γ
1
w
1
ψ d
Γ
1
+
Z
Γ
2
w
2
ψ d
Γ
2
(36)
имеет место при
8
ψ
2
H
1
Γ
(
Q
)
.
Как известно, задача Неймана (34) имеет единственное обоб-
щенное решение
χ
2
H
1
h
1
,S
(
Q
)
при
8
w
2
H
−
1
/
2
Γ
(Γ)
L
2
,
Γ
и по-
рождает [5] положительный компактный оператор
ˆ
C
, который ста-
вит в соответствие функции
w
=
{
w
1
, w
2
} 2
H
−
1
/
2
Γ
(Γ)
функцию
h
=
{
h
1
, h
2
} 2
H
1
/
2
(Γ)
:
ˆ
C
∂χ
∂n
=
χ
на
Γ
.
(37)
106
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 4
