Введем малый параметр
κ
=
l/L
1
как отношение характерно-
го размера ЯП
l
к характерному размеру всего композита
L
, а также
исходные декартовы координаты
x
k
, глобальные координаты
¯
x
k
и ло-
кальные координаты
ξ
k
. Для определенности будем полагать, что одна
из фаз с номером
α
=
N
является связной областью и называется
матрицей, а остальные представляют собой наполнитель (например,
волокна).
Рассмотрим для такой структуры задачу магнитостатики, предпо-
лагая выполненными условия идеального контакта на поверхности
раздела
Σ
αβ
между компонентами:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
∂
i
b
∗
α
i
= 0
в
V
α
;
b
∗
α
i
=
μ
∗
α
H
∗
α
i
;
H
∗
α
i
=
∂
i
v
∗
α
;
v
∗
α
=
v
∗
N
,
b
∗
α
i
−
b
∗
N
i
n
i
= 0
на
Σ
αN
;
v
∗
α
|
Σ
1
=
v
∗
e
,
n
i
b
∗
α
i
|
Σ
2
=
b
∗
e
,
(1)
где
b
∗
α
i
— компоненты комплексной амплитуды вектора магнитной ин-
дукции вфазе
V
α
;
H
∗
α
i
— компоненты комплексной амплитуды вектора
напряженности магнитного поля;
v
∗
α
— комплексная амплитуда маг-
нитного потенциала;
μ
∗
α
— комплексная амплитуда магнитной прони-
цаемости
α
-й фазы композита;
n
i
— компоненты вектора нормали;
v
∗
e
,
b
∗
e
— заданные значения магнитного потенциала и магнитного пото-
ка на внешней границе композита. Звездочка у всех величин означа-
ет, что рассматриваются амплитуды комплексных величин (например,
μ
∗
α
=
μ
α
+
iμ
α
, где
i
— мнимая единица), соответствующие зату-
хающим электромагнитным колебаниям с известной частотой
ω
. Все
компоненты векторов отнесены к прямоугольной декартовой системе
координат, операция
∂
i
означает дифференцирование по
i
-й координа-
те
x
i
.
Основная задача математического моделирования рассматриваемо-
го композита заключается втом, чтобы рассчитать магнитную прони-
цаемость
μ
∗
композита вцелом, исходя из геометрической микро-
структуры ЯП и магнитной проницаемости фаз композита
μ
∗
α
.
Следуя общей идее метода асимптотического осреднения, решение
задачи (1) относительно потенциала
v
∗
α
строим ввиде асимптотиче-
ских разложений по малому параметру
κ
так:
v
∗
α
x
i
=
v
∗
(0)
¯
x
i
+
κv
∗
α
(1)
¯
x
i
, ξ
j
+
+
κ
2
v
∗
α
(2)
k
¯
x
i
, ξ
j
+
. . .
в
V
α
,
(2)
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
