ровка задачи
L
p
) имеет вид
˜
V
ξ
μ
∗
ν
∗
(
p
)
|
i
δν
∗
(
p
)
|
i
dV
= 0
.
(14)
Метод конечного элемента для задач
L
p
.
Для решения вариаци-
онного уравнения (14) применим метод конечного элемента (МКЭ),
согласно которому всю область
˜
V
ξ
разбивают на конечные элементы
(КЭ)
V
e
,
˜
V
ξ
=
e
V
e
, и для каждого
V
e
записывают вариационное урав-
нение (14). При этом вправой части появляется ненулевое слагаемое,
обусловленное потоком магнитной индукции
b
∗
(
p
)
=
μ
∗
ν
∗
(
p
)
|
i
n
i
через
поверхность отдельного КЭ:
V
e
μ
∗
ν
∗
(
p
)
|
i
δν
∗
(
p
)
|
i
dV
=
Σ
e
b
∗
(
p
)
δν
∗
(
p
)
d
Σ
.
(15)
Зададим аппроксимации для магнитного потенциала ввиде
ν
∗
(
p
)
=
=
{
Φ
}{
ν
∗
(
p
)
}
T
, где
{
ν
∗
(
p
)
}
=
{
ν
∗
(
p
)
(
ξ
i
1
)
. . . ν
∗
(
p
)
(
ξ
i
m
)
}
— координатная
строка, составленная из значений магнитного потенциала
ν
∗
(
p
)
(
ξ
i
j
)
в
узлах КЭ;
ξ
i
j
— координаты
j
-го узла,
j
= 1
. . . m
,
m
— число уз-
лов;
{
Φ
}
=
{
Φ
1
(
ξ
i
)
. . . Φ
m
(
ξ
i
)
}
– строка функций формы. Вычисляя
вариацию магнитного потенциала
δν
∗
(
p
)
=
{
Φ
}
δ
{
ν
∗
(
p
)
}
T
, затем пред-
ставляя производные от потенциала в виде координатного столбца
{
ν
∗
(
p
)
|
1
. . . ν
∗
(
p
)
|
3
}
=
{
L
}
ν
∗
(
p
)
, где
{
L
}
=
{
∂/∂ξ
1
. . . ∂/∂ξ
3
}
— строка
операторовдифференцирования, и водя матрицу
[
B
] =
{
L
}
T
{
Φ
}
(
{
ν
∗
(
p
)
|
1
. . . ν
∗
(
p
)
|
3
}
T
= [
B
]
{
ν
∗
(
p
)
}
)
, переписываем вариационное уравне-
ние (15) ввиде
V
e
δ
{
ν
∗
(
p
)
}
T
[
B
]
T
μ
∗
[
B
]
{
ν
∗
(
p
)
}
dV
=
Σ
e
δ
{
ν
∗
(
p
)
}{
Φ
}
T
b
∗
(
p
)
d
Σ
.
(16)
Вынося вариацию за знак интеграла, из (16) получаем разрешаю-
щую систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
[
K
∗
]
{
ν
∗
(
p
)
}
T
=
{
f
}
T
,
(17)
где
[
K
∗
] =
V
e
[
B
]
T
μ
∗
[
B
]
dV
;
{
f
}
T
=
Σ
e
{
Φ
}
T
b
∗
(
p
)
d
Σ
— локальная матри-
ца жесткости и столбец правых частей.
При численной реализации МКЭ были выбраны конечные эле-
менты в форме 4-узловых тетраэдров, функции формы которых име-
ют линейный вид. Из локальной СЛАУ (17) составили глобальную
СЛАУ для всей рассматриваемой области
˜
V
ξ
, решение которой нахо-
дили путем разделения комплексных переменных на действительную
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
