магнитостатики с эффективным тензором комплексных амплитуд маг-
нитной проницаемости
μ
∗
ip
, связывающим комплексную амплитуду
вектора напряженности магнитного поля композита
¯
H
∗
i
и комплекс-
ную амплитуду вектора магнитной индукции композита
b
∗
i
:
b
∗
i
=
μ
∗
ij
¯
H
∗
j
,
(9)
где означает осреднение по
V
ξ
.
После решения серии задач
L
p
для всех
p
проинтегрируем магнит-
ную индукцию по областям, занятым волокнами и матрицей; тогда эф-
фективный тензор комплексных амплитуд магнитной проницаемости
μ
∗
ip
композита можно вычислить по следующим формулам:
μ
∗
ip
=
¯
b
∗
i
(
p
)
¯
H
∗
(
p
)
;
(10)
¯
b
∗
i
(
p
)
=
b
∗
(
α
)
i
(
p
)
=
4
α
=1
V
α
b
∗
α
i
(
p
)
dV
ξ
.
(11)
Вариационная формулировка задач
L
p
.
Дадим вариационную
формулировку задачи (8). Для этого рассмотрим класс комплексно-
значных функций
ν
∗
(
p
)
(возможные значения магнитного потенциала),
которые определены во всей области
˜
V
ξ
, являются гладкими в под-
областях
˜
V
αξ
, удовлетворяют условиям непрерывности на границах
фаз
˜Σ
ξ
αN
, а также граничным условиям первого рода на торцевых
поверхностях
Σ
p
,
Σ
p
:
[
ν
∗
(
p
)
] = 0
,
на
˜Σ
ξ
αN
,
ν
∗
(
p
) Σ
p
= 0
,
ν
∗
(
p
)
Σ
p
= 0
,
5 ¯
H
∗
p
.
(12)
Обозначим вариации возможных значений магнитного потенциала
δν
∗
(
p
)
, удовлетворяющие тем же условиям (12), но с нулеыми гранич-
ными условиями на торцевых поверхностях
Σ
p
. Тогда, следуя тради-
ционной схеме вывода вариационного принципа [4], получаем, что
истинный магнитный потенциал
ϑ
∗
α
(
p
)
, удовлетворяющий всем уравне-
ниям задачи (8), отличается от всех возможных значений потенциала
ν
∗
(
p
)
тем, что для него и только для него лагранжиан
L
имеет мини-
мальное значение,
δL
= 0
,
L
=
1
2
˜
V
ξ
μ
∗
ν
∗
(
p
)
|
i
ν
∗
(
p
)
|
i
dV .
(13)
Соответствующее вариационное уравнение (вариационная формули-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
7
