где
v
∗
α
(1)
,
v
∗
α
(2)
,. . . — неизвестные функции, подлежащие вычислению,
периодические по локальным координатам
ξ
k
; функция
v
∗
(0)
зависит
только от глобальных координат.
Подставляя разложение (2) в систему (1), используя правила диф-
ференцирования периодических функций [1–3] и собирая члены при
одинаковых степенях малого параметра
κ
, для функций
v
∗
α
(1)
получа-
ем локальную задачу “на ячейке периодичности”
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎪
⎪⎪⎪⎩
b
∗
α
(0)
i/i
= 0
в
V
ξα
;
b
∗
α
(0)
i
=
μ
∗
α
H
∗
α
(0)
i
;
H
∗
α
(0)
i
= ¯
H
∗
i
+
v
∗
α
(1)
/i
;
v
∗
α
(1)
=
v
∗
N
(1)
,
b
∗
α
(0)
i
−
b
∗
N
(0)
i
n
i
= 0
на
Σ
ξ
αN
;
v
∗
α
(1)
= 0;
[ [
v
∗
α
(1)
] ] = 0
.
(3)
Здесь
b
∗
α
(0)
i
,
v
∗
α
(1)
— компоненты вектора магнитной индукции и маг-
нитный потенциал фаз композита
V
αξ
;
α
= 1
, . . . , N
врамках одной
ЯП, а
¯
H
∗
i
=
v,
∗
(0)
i
— компоненты эффективного вектора напряженности
магнитного поля; также обозначены
, l
=
∂/∂
¯
x
l
и
/l
=
∂/∂ξ
l
производ-
ные по двум типам координат;
˜Σ
ξαβ
— поверхность контакта двух фаз
композита впределах отдельно взятой ЯП, т.е.
˜Σ
ξαβ
= Σ
ξαβ
∩
V
α
.
На искомые функции
v
∗
α
(1)
задачи (3) дополнительно наложены
условия периодичности
[ [
v
∗
α
(1)
] ] = 0
на границах ЯП, а также условие
нормировки
v
∗
α
(1)
= 0
, обусловленное требованиями единственно-
сти решения задачи на ячейке [4, 6], где
v
∗
α
(1)
— операция осред-
нения на ЯП. Условие нормировки делает задачу (3) в общем случае
интегродифференциальной.
Преобразование локальной задачи к задачам “классического”
типа.
Решения задачи (3) ищем ввиде сумм:
v
∗
α
(1)
=
3
p
=1
v
∗
α
(
p
)
,
(4)
где
v
∗
α
(
p
)
— функции следующего вида:
v
∗
α
(
p
)
=
−
¯
H
∗
p
ξ
p
+
ϑ
∗
α
(
p
)
(
ξ
k
)
.
(5)
Здесь
ϑ
∗
α
(
p
)
(
ξ
k
)
— новые неизвестные функции от
ξ
k
, уже не являю-
щиеся периодическими. Производные от функций (4) по локальным
координатам имеют вид
v
∗
α
(1)
|
i
=
3
p
=1
v
∗
α
(
p
)
|
i
=
−
3
p
=1
¯
H
∗
p
δ
ip
+
3
p
=1
ϑ
∗
α
(
p
)
|
i
=
−
¯
H
∗
i
+
3
p
=1
ϑ
∗
α
(
p
)
|
i
;
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
5
