описать поведение этих материалов в широком диапазоне изменения
внешних воздействий. Однако общая методология построения таких
моделей еще далека от завершения.
В статье предложена термомеханическая модель материалов с ма-
лоразмерной структурой, учитывающая временн ´ые эффекты при ак-
кумуляции и распространении теплоты и деформировании, а также
эффекты пространственной нелокальности.
Для получения определяющих уравнений воспользуемся соотно-
шениями, полученными в [2] для микрополярной среды с внутрен-
ними параметрами состояния. Достаточно полный обзор по микропо-
лярной теории упругости приведен в работах [3, 4], авторы которых,
однако, или не упоминают о влиянии температуры на напряженно-
деформированное состояние, или учитывают это влияние в классиче-
ской постановке [5]. В настоящей работе дано обобщение и распро-
странение полученных ранее результатов по построению математиче-
ских моделей сплошной среды с внутренними параметрами состояния
на микрополярную нелокальную среду с внутренним трением.
Определяющие уравнения нелокальной среды с внутренними па-
раметрами состояния можно получить в рамках теории малой дефор-
мации, используя закон сохранения энергии [5–7]:
ρ
˙
u
=
σ
jk
∂
˙
u
k
∂x
j
−
e
jkm
σ
km
˙
ϕ
j
+
m
jk
∂
˙
ϕ
k
∂x
j
−
∂q
k
∂x
k
+
q
V
, i, j, k, m
= 1
,
2
,
3
,
(1)
где
ρ
— плотность материала;
u
— массовая плотность внутренней
энергии;
˙( ) =
∂
( )
∂t
,
t
— время;
σ
jk
6
=
σ
kj
— компоненты тензора
напряжений;
u
k
— проекции вектора перемещения на оси
O
x
k
пря-
моугольной системы координат;
x
j
— декартовы координаты;
e
jkm
—
символы Леви-Чивиты;
ϕ
j
— проекции вектора микроповорота;
m
jk
—
компоненты тензора моментных напряжений;
q
k
— проекции векто-
ра плотности теплового потока;
q
V
— объемная плотность мощности
внутренних источников (стоков) теплоты. После использования пре-
образования Лежандра [7]
u
=
A
+
Th ,
где
A, h
— массовые плотности свободной энергии Гельмгольца и эн-
тропии,
T
— абсолютная температура, уравнение (1) принимает вид
ρT
˙
h
=
−
∂q
k
∂x
k
+
q
V
+
δ
D
,
(2)
где
δ
D
=
σ
jk
∂
˙
u
k
∂x
j
−
e
jkm
σ
km
˙
ϕ
j
+
m
jk
∂
˙
ϕ
k
∂x
j
−
ρ
( ˙
A
+ ˙
Th
)
— диссипативная
функция.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
27
