Рассмотрим так называемое
спектральное среднее
процесса
X
(
t
)
,
t
∈
R
, т.е. линейный функционал
L
(
f
)
вида [4, 6]
L
(
f
) =
+
∞
−∞
ϕ
(
λ
)
f
(
λ
)
dλ,
(3)
где
ϕ
(
λ
)
— суммируемаяфункция, называемая
спектрально-усредняю-
щей
функцией. В дальнейшем будем предполагать, что спектрально-
усредняющая функция
ϕ
(
λ
)
вещественнаяи четная.
Если
ϕ
(
λ
)
индикатор полуинтервала
(
−∞
;
μ
]
, то
L
(
f
) =
μ
−∞
f
(
λ
)
dλ
=
F
(
μ
)
,
где
F
(
μ
)
— спектральнаяфункцияпроцесса
X
(
t
)
,
t
∈
R
.
Если
ϕ
(
λ
) =
e
iλ
(
t
−
t
)
, то
L
(
f
) =
+
∞
−∞
e
iλ
(
t
−
t
)
f
(
λ
)
dλ
=
k
(
t
−
t
)
,
где
k
(
t
−
t
)
— ковариационнаяфункцияпроцесса
X
(
t
)
,
t
∈
R
.
В качестве оценки
L
(
f
)
будем рассматривать статистику
L
T
[5, 7, 8]
вида
L
T
=
+
∞
−∞
ϕ
(
λ
)
I
T
(
λ
)
dλ,
(4)
где
I
T
(
λ
)
—
периодограмма
процесса
X
(
t
)
,
t
∈
R
, котораяимеет сле-
дующий вид
I
T
(
λ
) =
1
2
πT
T
0
X
(
t
)
e
−
iλt
dt
2
.
(5)
Оценка
L
T
функционала
L
(
f
)
называется
асимптотически несме-
щенной
, если
lim
T
→∞
[
E
(
L
T
)
−
L
(
f
)] = 0
,
(6)
где
E
— оператор математического ожидания.
В работе [1] проведена оценка скорости сходимости в (6), ко-
гда
f
(
λ
)
и
ϕ
(
λ
)
принадлежат функциональным классам Никольского
H
p
(
γ
)
, которые определяются следующим образом [9]:
H
p
(
γ
) =
ψ
(
λ
)
∈
L
p
, ψ
(
r
)
(
λ
+
h
)
−
ψ
(
r
)
(
λ
)
p
C
|
h
|
α
,
(7)
90
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
