где
0
< α <
1
;
r
∈
N
,
N
=
{
1
,
2
,
3
, . . .
}
;
γ
=
r
+
α
,
p
≤
1
;
С
—
константа, не зависящая от h;
L
p
=
L
p
(
Q
) =
⎧⎪⎨
⎪⎩
f
;
f
p
=
⎛
⎝
Q
|
f
(
λ
)
|
p
dλ
⎞
⎠
1
p
<
∞
⎫⎪⎬
⎪⎭
,
1
p <
∞
,
— пространства суммируемых функций. Неравенство (7) выполняется
при
λ
∈
(
−∞
; +
∞
)
.
В работе [1] оценена скорость сходимости в (6), когда спектральная
плотность
f
(
λ
)
∈
H
p
(
γ
1
)
,
γ
1
>
0
,
p
≤
1
; спектрально-усредняющая
функция
ϕ
(
λ
)
∈
H
q
(
γ
2
)
,
γ
2
>
0
,
q
1
при
1
p
+
1
q
= 1
дляслучаев,
когда
γ
1
<
1
,
γ
2
<
1
и когда
γ
1
1
,
γ
2
1
. Случаи
γ
1
1
,
γ
2
<
1
и
γ
1
<
1
,
γ
2
1
не рассматривались автором в работе [1].
Цель настоящей работы — оценить скорость сходимости в (6), при
γ
1
1
,
γ
2
<
1
и при
γ
1
<
1
,
γ
2
1
.
Pассматриваемая проблема является частью общей проблемы непа-
раметрического статистического оценивания
L
(
f
)
на основе выборки
{
X
(
t
)
,
0
t T
}
или, по-другому, по наблюденному отрезку траек-
тории
X
(
t
)
,
0
t T
.
З а м е ч а н и е . Далее через
С
будут обозначены различные по-
ложительные постоянные.
Длядоказательства представленной ниже теоремы приведем неко-
торые предварительные результаты.
Функция
F
T
(
u
)
, называемая ядром Фейера, определяется следую-
щим образом:
F
T
(
u
) =
1
2
πT
⎛
⎜⎝
sin
Tu
2
u
2
⎞
⎟⎠
2
, u
∈
(
−∞
; 0)
∪
(0; +
∞
);
F
T
(0) =
T
2
π
.
(8)
Лемма 1.
Определенное по (8) ядро
F
T
(
u
)
является четным, нео-
трицательным и обладает следующими свойствами:
+
∞
−∞
F
T
(
u
)
du
= 1;
(9)
+
∞
1
F
T
(
u
)
du CT
−
1
;
(10)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
91
