1
0
F
T
(
u
)
u
α
du
⎧⎨
⎩
CT
−
α
при
α <
1
,
CT
−
1
ln
T
при
α
= 1
,
С
T
−
1
при
α >
1
.
(11)
Доказательство этих соотношений приведено в [9].
Лемма 2
. Справедливо следующее соотношение
E
(
L
T
) =
+
∞
−∞
+
∞
−∞
F
T
(
x
−
y
)
f
(
x
)
ϕ
(
y
)
dy dx,
(12)
где
f
(
x
)
— спектральнаяплотность;
ϕ
(
y
)
— спектрально-усредняющая
функция;
F
T
(
x
−
y
)
— ядро Фейера. Доказательство приведено в ра-
боте [1].
Лемма 3
. Пусть
ψ
(
λ
+
u
)
∈
H
p
(
γ
)
с
γ
=
r
+
α
, где
r
∈
N
,
N
=
{
1
,
2
,
3
, . . .
}
,
0
< α <
1
. Тогда справедливы следующие утвер-
ждения:
ψ
(
j
)
p
C <
∞
, j
= 1
, r
;
(13)
функция
ψ
(
λ
+
u
)
разлагаетсяв ряд Тейлора
ψ
(
λ
+
u
) =
r
n
=0
ψ
(
n
)
(
λ
)
n
!
u
n
+
R
(
λ
+
u, λ
)
,
(14)
где
R
(
λ
+
u, λ
)
— остаточный член, удовлетворяющий неравенству
R
(
λ
+
u, λ
)
p
C
r
!
|
u
|
r
+
α
.
(15)
Доказательство этих соотношений приведено в работе [9].
Перейдем теперь к формулировке и доказательству поставленной
задачи.
Теорема
.
Пусть выполнены следующие условия
:
1)
спектральная плотность
f
(
λ
)
∈
H
p
(
γ
1
)
, γ
1
1
, p
≥
1;
спектрально-усредняющая функция
ϕ
(
λ
)
∈
H
q
(
γ
2
)
,
0
< γ
2
<
1
, q
1
при
1
p
+
1
q
= 1;
2)
спектральная плотность
f
(
λ
)
∈
H
p
(
γ
1
)
,
0
< γ
1
<
1
, p
≥
1;
спектрально-усредняющая функция
ϕ
(
λ
)
∈
H
q
(
γ
2
)
, γ
2
1
, q
1
при
1
p
+
1
q
= 1;
Тогда
|
K
T
|
C T
−
1
при
γ
1
+
γ
2
>
1
,
где
K
T
=
E
(
L
T
)
−
L
(
f
)
.
Доказательство
. Согласно (12) имеем
E
(
L
T
) =
+
∞
−∞
+
∞
−∞
F
T
(
u
)
f
(
λ
+
u
)
ϕ
(
λ
)
dλdu
=
92
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
