МАТЕМАТИКА
УДК 519.24
А. Ю. Ш о м а х о в
ОБ ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ
СТАТИСТИКИ
L
T
К ЛИНЕЙНОМУ
ФУНКЦИОНАЛУ ОТ СПЕКТРАЛЬНОЙ
ПЛОТНОСТИ
L
(
f
) СТАЦИОНАРНОГО
ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА
Для вещественнозначного стационарного гауссовского центриро-
ванного процесса
X
(
t
)
,
t
∈
R, R
= (
−∞
,
+
∞
)
, имеющего спек-
тральную плотность
f
(
λ
)
, рассматривается проблема оценива-
ния скорости сходимости математического ожидания статисти-
ки
L
T
=
ϕ
(
λ
)
I
T
(
λ
)
dλ
,
λ
∈
(
−∞
; +
∞
)
, где
I
T
(
λ
)
— периодограм-
ма процесса
X
(
t
)
,
t
∈
R
, к линейному функционалу от спектральной
плотности
L
(
f
) =
ϕ
(
λ
)
f
(
λ
)
dλ
стационарного гауссовского про-
цесса на основе выборки
{
X
(
t
)
,
0
t T
}
.
E-mail:
Ключевые слова
:
стационарный процесс, периодограмма процесса, спек-
тральнаяплотность, спектральное среднее, асимптотическаянесмещен-
ность, классы Никольского, ядро Фейера.
Пусть
X
(
t
)
,
t
∈
R
,
R
= (
−∞
,
+
∞
)
, — стационарный гауссов-
ский центрированный процесс, обладающий спектральной плотно-
стью
f
(
λ
)
с
f
(
−
λ
) =
f
(
λ
)
, т.е.
E
X
(
t
) = 0
, t
∈
R.
(1)
E
X
(
t
)
X
(
t
) =
K
(
t, t
) =
cov
(
X
(
t
)
, X
(
t
)) =
k
(
t
−
t
) =
=
+
∞
−∞
e
iλ
(
t
−
t
)
f
(
λ
)
dλ,
(2)
где
E
— оператор математического ожидания;
t, t
∈
R
, а
K
(
t, t
) =
=
k
(
t
−
t
)
— ковариационнаяфункцияпроцесса
X
(
t
)
,
t
∈
R
.
Процесс
X
(
t
)
,
t
∈
R
, предполагаем вещественнозначным (дей-
ствительным). Так как рассматриваетсястационарный процесс с не-
прерывным временем, областью измененияпеременной
t
является ве-
щественная(действительная) ось
R
= (
−∞
,
+
∞
)
. Область изменения
Q
переменной
λ
(частоты) также вещественная(действительная) ось
Q
= (
−∞
,
+
∞
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 1
89
