по координате и времени [3–5]:
Z
(
r, t
) =
∞
k
=0
1
k
!
Z,
(
k
)
t
=
r/G
t
−
r
−
r
0
G
k
H t
−
r
−
r
0
G
,
(3)
где
[
Z,
(
k
)
] = [
∂
k
Z/∂t
k
]
— скачки производных
k
-го порядка по вре-
мени
t
от искомой функции
Z
на волновой поверхности
Σ
, при
t
= (
r
−
r
0
)
/G
;
r
0
— начальный радиус;
Н
(
t
)
— единичная функция
Хевисайда;
G
— нормальная скорость распространения фронта волны.
Уравнения, описывающие динамическое поведение упругой изо-
тропной пластинки в полярной системе координат с учетом инерции
вращения нормали к серединной плоскости и деформации поперечно-
го сдвига, имеют вид [6]
1
r
(
M
r
−
M
ϕ
) +
∂M
r
∂r
+
Q
r
=
ρh
3
12
¨
β
r
;
∂Q
r
∂r
+
Q
r
r
=
ρ h
˙
W
;
(4)
˙
M
r
=
D
∂
˙
β
r
∂r
+
σ
˙
β
r
r
; ˙
M
ϕ
=
D
˙
β
r
r
+
σ
∂
˙
β
r
∂r
;
˙
Q
r
=
Kμh
∂W
∂r
−
˙
β
r
,
(5)
где
r
и
ϕ
— полярные радиус и угол;
M
r
и
M
ϕ
— изгибающие моменты;
Q
r
— перерезывающая сила;
˙
β
r
— угловая скоростьвращения норма-
ли к срединной поверхности пластинки в направлении
r
;
W
= ˙
w
—
скоростьпрогиба;
K
=
π
2
/
12
;
μ
— модульсдвига;
σ
— коэффициент
Пуассона;
D
=
E
(1
−
σ
2
)
−
1
h
3
/
12
;
t
— время; точка над величинами
означает производную по времени.
Для определения переменных коэффициентов
[
Z,
(
k
)
]
необходимо
записатьуравнения движения точек пластинки (4), (5) в скачках и
использовать условие совместности для перехода от производных по
поверхностной координате к производным по времени на волновой
поверхности, после чего определяются скоростьсдвиговой волны и
динамическое условие совместности для перерезывающей силы и ско-
рости прогиба [5]:
G
=
Kμ
/
ρ, Q
r
=
−
ρGhW.
(6)
Подставляя в уравнения (1) выражения (2) и (6), получаем систему
интегро-дифференциальных уравнений относительно
α
и
w
:
m
¨
α
+ ˙
W
=
−
E
1
(
α
−
w
) ;
ρhπr
2
0
˙
W
=
−
2
πr
0
KμhW
G
+
E
1
(
α
−
w
)
.
(7)
96
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
