Используя преобразование Лапласа, запишем систему (7) в виде
mp
2
(¯
α
+ ¯
w
) =
−
E
1
(¯
α
−
¯
w
) +
mV
0
;
ρhπr
2
0
p
2
¯
w
=
−
2
πr
0
Kμhp
G
¯
w
+
E
1
(¯
α
−
¯
w
)
.
(8)
где
¯
α
и
¯
w
— неизвестные, выражающие в пространстве изображений
перемещения верхнего и нижнего концов буфера соответственно;
р
—
параметр преобразования.
Решая эту систему, получаем выражения
¯
w
=
−
¯
α
p
2
+
E
1
m
p
2
−
E
1
m
+
V
0
p
2
−
E
1
m
;
(9)
¯
α
=
(
p
2
+
B
0
p
+
A
0
)
V
0
p p
3
+
B
0
p
2
+
C
0
p
+
E
1
m
B
0
,
(10)
где
χ
= 1
/τ
1
;
A
0
=
E
1
ρhπr
2
0
;
B
0
=
2
G
(2)
r
0
;
C
0
=
E
1
2
ρhπr
2
0
+
1
m
.
Для обратного перехода в пространство оригиналов необходимо
разложитьвыражения (9) и (10) на простые дроби. Для этого нужно
решитьхарактеристическое уравнение
p
3
+
B
0
p
2
+
C
0
p
+
E
1
m
B
0
= 0
,
(11)
которое может иметьдва комплексно сопряженных и один действи-
тельный корень или три действительных корня.
Если уравнение (11) имеет действительные корни
a
11
,
а
12
,
а
13
, то
выражение для
¯
α
имеет вид
¯
α
=
A
1
p
−
a
11
+
B
1
p
−
a
12
+
C
1
p
−
a
13
+
D
1
p
,
(12)
где
A
1
=
V
0
(
a
2
11
+
B
0
a
11
+
A
0
)
(
a
11
−
a
12
) (
a
11
−
a
13
)
a
11
;
B
1
=
V
0
(
a
2
12
+
B
0
a
12
+
A
0
)
(
a
12
−
a
11
) (
a
12
−
a
13
)
a
12
;
C
1
=
V
0
(
a
2
13
+
B
0
a
13
+
A
0
)
(
a
13
−
a
11
) (
a
13
−
a
12
)
a
13
;
D
1
=
−
A
0
V
0
a
11
a
12
a
13
.
Выражение для
α
в пространстве оригиналов запишем как
α
=
A
1
exp (
a
11
t
) +
B
1
exp (
a
12
t
) +
C
1
exp (
a
13
t
) +
D
1
.
(13)
Если уравнение (11) имеет один действительный корень
а
16
и два
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 2
97
