d
i
=
ν
ikl
ε
kl
−
э
ik
e
k
;
(5)
e
k
=
ϕ
,k
;
(6)
[
u
i
] = 0
,
[
σ
ij
]
n
j
= 0
на
Σ
ij
;
(7)
[
ϕ
] = 0
,
[
d
i
]
n
i
= 0
на
Σ
ij
;
(8)
u
i
Σ
u
=
u
i
e
, σ
ij
Σ
σ
n
j
=
S
i
;
(9)
ϕ
Σ
ϕ
=
ϕ
e
, d
i
n
i
Σ
d
=
d
ne
.
(10)
Здесь(1) — уравнения равновесия, (2) — уравнение Гаусса, (3) — со-
отношения упругости с учетом пьезоупругого эффекта, (4) — соотно-
шения Коши, (5) — электрические соотношения с учетом обратного
пьезоэффекта, (6) — выражение для электрического потенциала, (7) —
условия идеального механического контакта на границе раздела ком-
понентов, (8) — соотношения идеального электрического контакта на
границе раздела, (9) — граничные кинематические и статические усло-
вия на частях внешней поверхности
Σ
u
и
Σ
σ
, (10) — электрические
граничные условия,
C
ijkl
— компоненты тензора модулей упругости,
ε
ij
— компоненты тензора малых деформаций,
ν
ijk
— компоненты тен-
зора пьезоэлектрических коэффициентов,
σ
ij
— компоненты тензора
напряжений,
э
ij
— компоненты тензора диэлектрических постоянных,
e
i
— компоненты вектора напряженности электрического поля,
d
i
—
компоненты вектора электрической индукции;
ϕ
— электрический по-
тенциал.
Согласно МАО решение задачи пьезоупругости строится в виде
асимптотических разложений:
u
=
i
u
(0)
i
(
x
k
) +
κu
(1)
i
(
x
k
, ξ
l
) +
k
2
. . .
;
ε
ij
=
ε
(0)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
κε
(1)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
k
2
. . .
;
σ
ij
=
σ
(0)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
κσ
(1)
ij
(
x
k
, ξ
l
) +
k
2
. . .
;
ϕ
=
ϕ
(0)
(
x
k
) +
kϕ
(1)
(
x
k
, ξ
l
) +
k
2
. . . .
(11)
Подставляя (11) в (10), получаем в нулевом приближении локаль-
ную задачу пьезоупругости
σ
(0)
ij/j
= 0;
−
d
(0)
i/i
= 0;
σ
(0)
ij
=
C
ijkl
ε
(0)
kl
+
ν
kij
e
(0)
k
;
ε
(0)
ij
=
ε
ij
+
1
2
u
(1)
i/j
+
u
(1)
j/i
;
d
(0)
i
=
ν
ikl
ε
(0)
kl
−
э
ik
e
(0)
k
;
e
(0)
k
=
ϕ
(1)
/k
+
e
k
;
u
(1)
i
= 0
,
σ
(0)
ij
n
j
= 0
,
ϕ
(1)
= 0
,
d
(0)
i
n
i
= 0
,
u
(1)
i
= 0;
ϕ
(1)
= 0;
u
(1)
i
= 0;
ϕ
(1)
= 0
.
(12)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
87
