УДК 539.3
Ю. И. Д и м и т р и е н к о, А. Н. М о р о з о в,
А. П. С о к о л о в, Е. С. Н и ч е г о в с к и й
МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНЫХ
ПЬЕЗОЭЛЕКТРОУПРУГИХ
КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Предложен конечно-элементный метод решения локальных задач
теории пьезоупругости на ячейке периодичности для композитов
со сложными пространственными структурами армирования. Да-
но теоретическое обоснование метода. Разработан программный
комплекс для решения локальных задач и расчета эффективных
пьезоупругих характеристик композиционных материалов. Прове-
денное сравнение результатов расчетов с аналитическим решени-
ем для слоистого композита показало высокую точность разрабо-
танного метода.
E-mail:
Ключевые слова
:
композиционные материалы, пьезоэлектроупругость,
метод асимптотического осреднения, метод конечного элемента.
В последнее время, особенно в связи с развитием нанотехнологий,
резко возрос интерес к разработке методов моделирования новых ма-
териалов с необычными свойствами. Широкими возможностями для
создания таких методов обладает метод асимптотического осреднения
(МАО), называемый также методом гомогенизации [1–3]. В работах
[4–7] описаны методы численного решения так называемых локаль-
ных задач, которые возникают в МАО, и, вообще говоря, являются
интегродифференциальными. В настоящей работе предложено разви-
тие этого метода для моделирования композиционных материалов с
пьезоупругими свойствами.
Задача на ячейке периодичности.
Рассмотрим композиционный
материал, обладающий периодической структурой, ячейка периодич-
ности (ЯП)
V
ξ
которого состоит из
N
фаз
V
α
,
α
= 1
, . . . , N
. Вве-
дем малый параметр
κ
=
l/L
1
, где
l
— характерный размер ЯП,
L
— характерный линейный размер всего композита. Введем декар-
товы координаты
x
k
, глобальные координаты
¯
x
k
=
x
k
/L
и локальные
координаты
ξ
k
=
x
k
/κ
. Рассмотрим для такой структуры задачу пьезо-
упругости, предполагая выполненными условия идеального контакта
на поверхности раздела
Σ
αβ
между компонентами:
σ
ij,j
= 0;
(1)
−
d
ij
+
ρ
e
= 0;
(2)
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
+
ν
kij
e
k
;
(3)
ε
ij
=
1
2
(
u
i,j
+
u
j,i
) ;
(4)
86
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
