где обозначены координатные строки из неизвестных функций:
U
т
=
=
U
1(
pq
)
, U
2(
pq
)
, U
3(
pq
)
— перемещений;
σ
т
=
σ
(0)
11(
pq
)
, σ
(0)
22(
pq
)
. . . σ
(0)
13(
pq
)
— напряжений;
e
т
= [
ε
(0)
11(
pq
)
, ε
(0)
22(
pq
)
. . . ε
(0)
13(
pq
)
]
— деформаций;
S
т
=
=
S
1(
pq
)
, S
2(
pq
)
, S
3(
pq
)
— поверхностных сил;
e
т
=
e
(0)
1(
pq
)
, e
(0)
2(
pq
)
, e
(0)
3(
pq
)
— электрической напряженности;
d
т
=
d
(0)
1(
pq
)
, d
(0)
2(
pq
)
, d
(0)
3(
pq
)
— электри-
ческой индукции.
Аналогично формулируется вариационная постановка задачи
L
r
.
Запишем в матричном виде соотношения Коши в (15):
e = DU
,
где
D
— матрица линейных дифференциальных операторов, а также
определяющие соотношения в (16):
σ
= Ce+Ve
,
d = Ve
−
Э
e
, где
C
— матрица
6
×
6
из компонент тензора модулей упругости компонентов
композита
С
α
ijkl
[8],
V
— матрица
6
×
3
коэффициентов пьезоупругости,
Э
— матрица
3
×
3
коэффициентов диэлектрической проницаемости, а
e = D
e
ϕ
, где
D
e
— дифференциальный оператор.
Аппроксимируем перемещения
U
и электрический потенциал
ϕ
в
КЭ линейными функциями координат:
U = Φq
,
ϕ
=
ф
т
y
, где
q
и
y
—
координатные столбцы перемещений и электрических потенциалов в
узлах КЭ;
Φ
и
ф
т
— матрица и столбец функций формы. Тогда из вари-
ационного уравнения (25) получаем итоговую разрешающую систему
линейных алгебраических уравнений:
˜K˜q = ˜f
, где
K =
V
˜B
т
˜C ˜B
dV
,
K
e
=
V
B
т
e
Э
B
e
dV
— матрицы жесткости,
B = D
Ф
,
B
e
= D
e
ф
;
˜C =
C V
V
т
Э
; ˜B =
B 0
0 B
e
; ˜q =
q
y
; ˜f =
f
f
e
;
(26)
f
— столбец нагрузок и
f
e
— столбец электрической индукции для КЭ.
Составляя глобальную СЛАУ для всей 1/8 ЯП и решая ее, находим
перемещения
q
и электрические потенциалы
y
в узлах. Для решения
СЛАУ применялисьметоды сопряженного градиента. Для генерации
конечно-элементных сеток, решения задач, проведения расчетов эф-
фективных характеристик и визуализации результатов использовались
программные технологии, разработанные на кафедре “Вычислитель-
ная математика и математическая физика” МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Решение тестовой задачи для слоистого композита.
В ка-
честве тестовой задачи был рассчитан двухслойный композит, для
которого известно точное аналитическое решение локальных за-
дач (12) [9]. Объемная концентрация слоев равна 0,5. В качестве
1-го слоя взяты константы турмалина, обладающего тригональным
(B-ромбоэдрическим) классом симметрии с группой анизотропии 3m
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
91
