Здесь
ε
ij
= (
u
(
o
)
i,j
+
u
(
o
)
j,i
)
/
2
— компоненты тензора осредненных де-
формаций композита и
e
k
=
e
(
o
)
k
— компоненты осредненного вектора
напряженности электрического поля (в локальной задаче они являются
заданными величинами);
[[
]]
— условие периодичности функций на
границе ЯП;
— операция осреднения на ЯП;
, l
=
∂/∂
¯
x
l
и
/l
=
∂/∂ξ
l
— производные по двум типам координат;
˜Σ
ξαβ
— поверхностьконтак-
та двух компонентов композита в пределах отдельно взятой ЯП, т.е.
˜Σ
ξαβ
= Σ
ξαβ
∩
V
α
.
Преобразование локальной задачи к задачам “классического”
типа.
Задача содержит 9 входных функций
ε
ij
и
e
k
, будем искатьее
решение в виде суммы по этим функциям:
u
(1)
i
=
3
p,q
=1
u
i
(
pq
)
+
3
r
=1
u
i
(
r
)
,
ϕ
=
3
r
=1
ϕ
(
r
)
+
3
p,q
=1
ϕ
(
pq
)
,
(13)
где
u
i
(
pq
)
=
−
¯
ε
pq
(
δ
ip
ξ
q
+
δ
iq
ξ
p
) +
U
i
(
pq
)
,
ϕ
(
r
)
=
−
¯
e
r
ξ
r
+ Ψ
(
r
)
,
(14)
а
U
i
(
pq
)
и
Ψ
(
r
)
— новые неизвестные функции. Подставляя (13) и (14)
в (12), находим выражения для
ε
(0)
ij
,
e
(0)
k
,
σ
(0)
ij
и
d
(0)
i
:
ε
(0)
ij
=
3
p,q
=1
ε
(0)
ij
(
pq
)
+
3
r
=1
ε
(0)
ij
(
r
)
;
ε
(0)
ij
(
pq
)
=
1
2
p,q
(
U
i
(
pq
)
/j
+
U
j
(
pq
)
/i
);
ε
(0)
ij
(
r
)
=
1
2
r
(
u
i
(
r
0
/j
+
u
j
(
r
)
i
);
e
(0)
k
=
3
r
=1
e
(0)
k
(
r
)
+
3
p,q
=1
e
(0)
k
(
pq
)
;
e
(0)
k
(
r
)
= Ψ
(
r
)
/k
;
e
(0)
k
(
pq
)
=
ϕ
(
pq
)
/k
;
σ
(0)
ij
=
3
p,q
=1
σ
0)
ij
(
pq
)
+
3
r
=1
σ
(0)
ij
(
r
)
;
d
(0)
i
=
3
r
=1
d
(0)
i
(
r
)
+
3
p,q
=1
d
(0)
i
(
pq
)
.
(15)
88
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2010. № 3
