Математическая модель.
Математическую модель переноса те-
пловой энергии в композите построим с учетом предположения, что
сфероидальные включенияв общем случае не находятсяв контакте,
т.е. отделены друг от друга слоем изотропного материала матрицы.
Композит состоит из множества изотропных сфероидальных частиц
с коэффициентом теплопроводности
λ
0
, окруженных материалом ма-
трицы с коэффициентом теплопроводности
λ
m
(значения
λ
0
и
λ
m
из-
вестны).
Рассмотрим тепловое взаимодействие отдельно взятого сферои-
дального включенияс неограниченным объемом окружающей его ма-
трицы. Начало прямоугольной декартовой системы координат
Oξ
1
ξ
2
ξ
3
выберем в центре включения, причем направление координатной оси
Oξ
3
совпадает с направлением оси вращениясфероида, уравнение по-
верхности которого имеет вид
ξ
2
1
+
ξ
2
2
+
ξ
2
3
/
¯
b
2
=
b
2
1
, где
¯
b
=
b
3
/b
1
<
1
,
b
3
— полуось сфероида;
b
1
— наибольший радиус сфероида.
Примем, что на расстоянии от центра включения, значительно пре-
вышающем радиус
b
1
, составляющие градиента установившегося рас-
пределениятемпературы равны
T,
◦
k
,
k
= 1
,
2
,
3
(запятая с последу-
ющим нижним индексом
k
обозначает производную по направлению
оси
Oξ
k
). Установившеесяраспределение температуры вне включе-
нияописываетсядифференциальным уравнением Лапласа
T,
∗
kk
= 0
с
частными производными второго порядка (здесь и далее использова-
но правило суммированияпо повторяющемусялатинскому индексу).
Этому уравнению удовлетворяет распределение температуры [5, 6] ви-
да
T
(
M
) =
T,
◦
k
ξ
k
+
(1
−
¯
λ
)
D
α
T,
◦
k
ξ
k
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
α
, α
=
k,
(1)
где
¯
λ
=
λ
0
/λ
m
;
D
1
=
D
2
=
¯
b
2
∞
β
du
(1 +
u
)
f
(
u
)
;
D
3
=
¯
b
2
∞
β
du
( ¯
b
2
+
u
)
f
(
u
)
,
(2)
β
— положительный корень уравнения
(
ξ
2
1
+
ξ
2
2
)
/
(1 +
β
) +
ξ
2
3
/
( ¯
b
2
+
β
) =
b
2
1
,
(3)
характеризующий положение точки
M
с координатами
ξ
k
;
D
◦
α
=
D
α
|
β
=0
;
f
(
u
) = (1 +
u
) ¯
b
2
+
u
.
Интегралы в формуле (2) можно выразить через элементарные
функции, тогда [5]
D
1
=
D
2
=
arcctg
ν
−
ν/
(1 +
ν
2
)
2(1
−
¯
b
2
)
3
/
2
¯
b
;
D
3
=
1
/ν
−
arcctg
ν
(1
−
¯
b
2
)
3
/
2
¯
b,
(4)
118
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
