|
ξ
3
|
B
1
. Тогда, согласно формуле (6),
N
весьма удаленных включе-
ний, расположенных в объеме
V
N
, вызовут в этой точке возмущение
температурного поля, равное
Δ
T
=
N
Δ
T
∗
=
N
(1
−
¯
λ
)
D
3
T,
◦
3
ξ
3
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
3
.
(7)
Если принять сфероид объемом
V
N
представительным элементом
композита с рассматриваемыми включениями, то этот элемент с иско-
мым эффективным коэффициентом теплопроводности
λ
3
в направле-
нии оси
Oξ
3
создаст в той же весьма удаленной точке (см. (6)) такое
же возмущение температурного поля:
Δ
T
=
(1
−
λ
3
)
D
∗
3
T,
◦
3
ξ
3
1 + (
λ
3
−
1)
D
◦
3
,
(8)
где
λ
3
=
λ
3
/λ
m
;
D
∗
3
=
1
2
∞
β
∗
du
( ¯
B
2
+
u
)
F
(
u
)
,
причем
β
∗
— положительный корень уравнения
(
ξ
2
1
+
ξ
2
2
)
/
(1 +
β
) +
+
ξ
2
3
/
( ¯
B
2
+
β
) =
B
2
1
;
F
(
u
) = (1 +
u
) ¯
B
2
+
u
.
Приравняв правые части формул (7) и (8), запишем
λ
3
=
1 + ( ¯
λ
−
1)(
D
◦
3
+ (1
−
D
◦
3
)
ND
3
/D
∗
3
)
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
3
(1
−
ND
3
/D
∗
3
)
.
(9)
В работе [6] дляобщего случаявключений в виде произвольного трех-
осного эллипсоида показано, что
ND
3
/D
∗
3
=
C
V
. Это равенство спра-
ведливо и длячастных случаев эллипсоидальной формы включений.
Таким образом, формула (9) принимает вид
λ
3
=
1 + ( ¯
λ
−
1)(
D
◦
3
+ (1
−
D
◦
3
)
C
V
)
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
3
(1
−
C
V
)
.
(10)
Отметим, что дляшаровых включений
D
◦
3
= 1
/
3
[ 6 ], тогда компо-
зит будет изотропным, а формула (10) совпадет с формулой Максвел-
ла [5, 7].
Аналогично можно найти формулы для
λ
1
=
λ
1
/λ
m
и
λ
2
=
λ
2
/λ
m
,
где
λ
1
и
λ
2
— эффективные коэффициенты теплопроводности компо-
зита в направлении осей
Oξ
1
и
Oξ
2
, причем в силу равенства
D
◦
1
=
D
◦
2
получим
λ
1
=
λ
2
. С учетом этого при
α
= 1
,
2
,
3
имеем
λ
α
=
1 + ( ¯
λ
−
1)(
D
◦
α
+ (1
−
D
◦
α
)
C
V
)
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
α
(1
−
C
V
)
.
(11)
120
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
