Таким образом, в рассматриваемом случае композит обладает транс-
версальной изотропией по отношению к свойству теплопроводности.
Предположим, что все сфероидальные включенияв композите по-
добны по форме и одинаково ориентированы относительно выбран-
ной системы координат, однако размеры включений могут быть раз-
личны. Пусть
N
таких включений также находятся в объеме
V
N
, но
B
1
/b
(
n
)
1
=
B
3
/b
(
n
)
3
=
C
n
= const
1
, где
b
(
n
)
1
и
b
(
n
)
3
— геометри-
ческие параметры сфероидального включенияс номером
n
= 1
, N
при выполнении условияподобия
b
(
n
)
3
/b
(
n
)
1
= ¯
b
. Поскольку объем
n
-го включенияравен
4
π
(
b
(
n
)
1
)
2
b
(
n
)
3
/
3
, объемную концентрацию этих
включений в объеме
V
N
можно определить по формуле
C
V
=
N
n
=1
1
C
3
n
.
(12)
Согласно (2), дляподобных по форме сфероидальных включений
при
¯
b
= const
значения
D
α
не зависят от размеров включений. Сле-
довательно, возмущение температурного поляв точке с координатами
ξ
k
, удаленной от каждого из
N
включений на весьма большое рас-
стояние (при выполнении неравенств
|
ξ
k
|
/B
1
1
), будет определено
равенством вида (7), т.е. формула (11) применима и в рассматриваемом
случае при условии, что объемную концентрацию включений находят
по (12).
Построение двусторонних оценок.
Дляполучениядвусторонних
оценок эффективных коэффициентов теплопроводности изучаемого
композита применим двойственную вариационную формулировку за-
дачи стационарной теплопроводности [8, 9]. С этой целью используем
трехфазную модель композита в виде цилиндрической области объ-
емом
V
, имеющей в направлении координатной оси
Oξ
3
высоту
H
и ограниченной параллельными основаниями (каждое с достаточно
большой площадью
S
0
). Эта область содержит половину сфероидаль-
ного включенияс геометрическими параметрами
b
1
и
b
3
, покрыто-
го слоем матрицы, ограниченным половиной поверхности соосного
включению сфероида с параметрами
ˆ
b
1
=
C
∗
b
1
и
ˆ
b
3
=
C
∗
b
3
,
C
∗
>
1
,
центр которого совпадает с началом выбранной выше системы коор-
динат
Oξ
1
ξ
2
ξ
3
(рис. 1). Плоскости симметрии половины включенияи
слояматрицы совпадают с основанием цилиндрической области, ле-
жащим в координатной плоскости
ξ
1
Oξ
2
. В остальной части области
находитсяоднородный материал с искомыми свойствами композита.
Боковую поверхность цилиндра примем идеально теплоизолиро-
ванной, температура первого основанияпри
ξ
3
= 0
равна нулю, а вто-
рого основанияпри
ξ
3
=
H
—
T,
◦
3
H
. Таким образом, в неоднородной
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
121
