с учетом формулы (14) из условия
J
1
[
T
]
≥
J
0
найдем верхнюю оценку
λ
3
≤
1
−
C
V
+ ¯
λC
V
=
λ
+
,
(17)
а с учетом (16) из условия
I
1
[
q
]
≤
J
0
— нижнюю оценку
λ
3
≥
1
/
(1
−
C
V
+
C
V
/
¯
λ
) =
λ
−
.
(18)
Принятые достаточно простые допустимые распределения темпе-
ратурного поляи плотности теплового потока учитывают лишь объ-
емное содержание каждой из трех изотропных фаз в использованной
трехфазной модели композита. В связи с этим для всех трех напра-
влений координатных осей оценки эффективного коэффициента те-
плопроводности композита, входящие в формулы (17) и (18), будут
идентичными.
Зависимости оценок
λ
+
(кривые
1
) и
λ
−
(кривые
2
) от объемной
концентрации
C
V
при различных значениях
¯
λ
, построенные по фор-
мулам (17) и (18), приведены на рис. 2.
Длясфероидального включенияс
¯
b
= 1
/
2
при
β
= 0
по (4) вычи-
слены значения
D
◦
1
=
D
◦
2
= 0
,
03487
,
D
◦
3
= 0
,
93026
. Затем по формуле
(11) длятех же значений
¯
λ
(см. рис. 2) построены зависимости эф-
фективных коэффициентов теплопроводности
λ
1
=
λ
2
(сплошные ли-
нии) и
λ
3
(штриховые линии) от объемной концентрации
C
V
. Следует
отметить близость попарно зависимостей
λ
+
,
λ
1
и
λ
−
,
λ
3
от концен-
трации
C
V
. В случае небольшого отклонениязначения
¯
λ
от единицы
длявыбранной формы включенияразличие значений эффективных
коэффициентов теплопроводности мал´о, т.е. анизотропиякомпозита
оказываетсясравнительно слабой. По мере отклонениязначения
¯
λ
от
единицы, несмотряна совпадение оценок и значений этих коэффици-
ентов при
C
V
= 0
и
C
V
= 1
, разность
λ
+
−
λ
−
дляпромежуточных
значений концентрации
C
V
становитсязначительной и одновременно
увеличиваетсяразличие значений
λ
1
=
λ
2
и
λ
3
, что приводит к более
существенной анизотропии композита.
Указаннаятенденцияусиливаетсяпо мере уменьшениязначения
¯
b
и отклонениязначения
¯
λ
от единицы. По мере приближенияформы
сфероида к шаровой значения
λ
1
=
λ
2
и
λ
3
сближаются, а разность
λ
+
−
λ
−
дляпромежуточных значений концентрации
C
V
уменьшается.
Если в композите оси вращенияодинаковых по форме и размерам сфе-
роидальных включений равномерно распределены по всем возможным
направлениям, то композит будет изотропным с эффективным коэф-
фициентом теплопроводности
λ
= (2
λ
1
+
λ
3
)
/
3
[10, 11].
Заключение.
Построеннаяматематическаямодель переноса те-
пловой энергии в композите с включениями сфероидальной формы
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
123
