где
ν
= ( ¯
b
2
+
β
)
/
(1
−
¯
b
2
)
. По мере уменьшениязначения
¯
b
форма
сфероида приближаетсяк тонкой круглой пластинке. В этом случае,
пренебрегаявеличиной
¯
b
2
по сравнению с единицей, упрощаем фор-
мулы (4) и представляем их в виде
D
1
=
D
2
=
¯
b
2
arcctg ¯
b
2
+
β
−
¯
b
2
+
β
1 +
β
;
D
3
=
¯
b
¯
b
2
+
β
−
¯
b
arcctg ¯
b
2
+
β.
Установившеесяраспределение температуры во включении также
удовлетворяет уравнению Лапласа, но имеет фиксированные соста-
вляющие градиента температуры и может быть представлено соотно-
шением [5, 6]
T
(
ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
) =
T,
◦
k
ξ
k
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
α
, α
=
k.
Таким образом, согласно формуле (1), наличие сфероидального включе-
ниясоздает в матрице возмущение температурного поляотноситель-
но линейного распределения
T,
◦
k
ξ
k
на большом расстоянии от этого
включения. Возмущение температурного поляописываетсясоотноше-
нием
Δ
T
∗
=
(1
−
¯
λ
)
D
α
T,
◦
k
ξ
k
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
α
.
(5)
Случай одинаковой ориентации включений.
При одинаковой
ориентации оси
Oξ
3
всех сфероидальных включений сначала рассмо-
трим случай, когда
T,
◦
1
=
T,
◦
2
= 0
. С учетом этого длявозмущения
температурного поляв матрице, создаваемого одним включением, из
формулы (5) получим
Δ
T
∗
=
(1
−
¯
λ
)
D
3
T,
◦
3
ξ
3
1 + ( ¯
λ
−
1)
D
◦
3
.
(6)
Пусть
N
одинаковых по форме и размерам включений находятся в
объеме
V
N
= 4
πB
2
1
B
3
/
3
, ограниченном поверхностью геометрически
подобного этим включениям сфероида с уравнением поверхности
ξ
2
1
+
+
ξ
2
2
+
ξ
2
3
/
¯
B
2
=
B
2
1
,
¯
B
=
B
3
/B
1
, где
B
1
/b
1
=
B
3
/b
3
=
C
0
= const 1
.
Поскольку объем каждого включенияравен
4
πb
2
1
b
3
/
3
, объемную
концентрацию включений в объеме
V
N
можно определить по фор-
муле
C
V
=
N/C
3
0
.
Дляточки, удаленной от каждого включенияна весьма большое
расстояние по сравнению с радиусом
B
1
, примем длявсех включений
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 4
119
