и др. Эмпирический подход, который обычно используется при выводе
уравнений теории устойчивости для конкретных типов конструкций,
не всегда гарантирует необходимую корректность самих уравнений. В
этом смысле вывод уравнений теории устойчивости, даже для тонко-
стенных оболочечных конструкций, предпочтительнее проводить не
эмпирическим путем, а на основе анализа трехмерных уравнений те-
ории устойчивости.
В работе [9] была предложена обобщенная трехмерная теория
устойчивости нелинейно-упругих конструкций при конечных дефор-
мациях. Цель настоящей статьи — вывод уравнений трехмерной те-
ории устойчивости для случая малых деформаций из обобщенных
уравнений теории устойчивости при конечных деформациях.
Малая деформация тела в варьированной конфигурации.
Рас-
смотрим линейно-упругие среды с малыми деформациями. Согласно
определению малых деформаций [10, 11], градиент деформации
F
,
описывающий движение тела из отсчетной конфигурации
0
K
в акту-
альную конфигурацию
K
, мало отличается от метрического тензора
E
.
Метрические матрицы
g
ij
и
0
g
ij
в конфигурациях
0
K
и
K
так же, как
и набла-операторы при малых деформациях, мало различаются между
собой и их различием можно пренебречь:
F
≈
E;
g
ij
≈
0
g
ij
;
r ≈
0
r
.
(1)
В работе [9] была введена еще одна актуальная конфигурация
b
K
,
которая была названа варьированной отсчетной. Эта конфигурация
описывает переход тела из устойчивого состояния
K
в неустойчивое.
Движение из конфигурации
K
в конфигурацию
b
K
характеризуется
градиентом деформации
F
ξ
[9]. Будем полагать, что это движение так-
же происходит в рамках малых деформаций. В таком случае допуще-
ние о малости деформаций следует уточнить. Предположим, что мала
только симметричная часть
ε
градиента
F
ξ
=
r
w
т
∙
F
≈ r
w
т
, а
кососимметричная его часть
Ω(w)
может быть произвольной:
F
ξ
=
r
w
т
=
ε
(w)
−
Ω(w)
,
k
ε
(w)
k
1
.
(2)
Здесь
w
— вектор перемещений точек тела из конфигурации
K
в кон-
фигурацию
b
K
. Допущение (2) о малости деформаций в варьированной
конфигурации означает, что относительные удлинения
ε
α
материаль-
ных отрезков, ориентированных вдоль собственных направлений
q
α
тензора
ε
, предполагаются малыми:
|
ε
α
|
1
, а угол поворота бази-
са
q
α
, характеризуемый вектором
ω
, может быть произвольным.
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
