Как было показано в работах [10, 11], при малых деформациях
все энергетические тензоры деформаций
(
n
)
C
для движения из конфи-
гурации
0
K
в устойчивую конфигурацию совпадают с тензором малых
деформаций, который обозначим следующим образом:
(
n
)
C =
ε
0
=
1
2
(
r
u
0
+
r
u
0
т
)
,
где
u
0
= x
−
0
x
— вектор перемещений материальной точки из конфи-
гурации
0
K
в конфигурацию
K
; индекс “0” соответствует величинам
в устойчивой актуальной конфигурации
K
, которую будем называть
основным состоянием.
Понятие “конвективная производная” было введено в работах
[9, 12]. Конвективные производные
V
C
ξ
и
I
C
ξ
от правых тензоров дефор-
мации Коши – Грина и Альманзи
V
C
и
I
C
(тензоры
(
n
)
C
при
n
=
I и V)
согласно формулам (20) и (21), приведенным в работе [9], при малых
деформациях совпадают с тензором малых деформаций
ε
(w)
тела из
устойчивой конфигурации
K
в неустойчивую конфигурацию
b
K
:
I
C
ξ
=
V
C
ξ
=
ε
(w) =
1
2
(
r
w +
r
w
т
)
.
(3)
При малых деформациях совпадают все энергетические тензоры
напряжений
(
n
)
T
, тензоры напряжений Коши и Пиолы – Кирхгофа, ко-
торые обозначим как
(
n
)
T = T = P =
σ
0
.
(4)
Упругий потенциал
ψ
(
I
(
s
)
γ
(
(
n
)
C))
для линейно-упругих сред с ма-
лыми деформациями является квадратичной функцией инвариантов
I
(
s
)
γ
(
(
n
)
C) =
I
(
s
)
γ
(
ε
0
)
тензора малых деформаций, который можно запи-
сать в виде (с учетом тепловых деформаций):
0
ρψ
=
0
ρψ
0
+
1
2
r
1
X
γ,β
=1
l
γβ
I
(
s
)
γ
I
(
s
)
β
+
r
2
X
γ
=
r
1
+1
l
γγ
I
(
s
)
γ
=
0
ρψ
0
+
1
2
(
n
)
C
∙ ∙
4
C
∙ ∙
(
n
)
C
,
(5)
где
r
1
— число линейных инвариантов
I
(
s
)
γ
(
n
)
C
;
r
2
−
r
1
— число ква-
дратичных инвариантов;
4
C
— тензор модулей упругости.
Тензор
4
(
n
)
H
(
s
)
, образованный вторыми производными потенциала
по инвариантам, для линейно-упругих сред в точности совпадает с
тензором модулей упругости
4
C
:
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
19
