Обобщенная трехмерная теория устойчивости упругих тел. Часть 2. Малые деформации - page 6

σ =4 C ∙ ∙ ε(w); ε (w) =
1
2
(r w + r wт);
B = r ω; ω =
1
2 ∙ ∙Ω(w); (14)
Ω(w) =
1
2
( r w − r wт);
n ∙ ( σ − σ 0 ∙ ∙ ω) Σσ
= 0, w Σu
= 0.
Отметим, что уравнение теории устойчивости в системе (14) мож-
но записать в эквивалентных формах:
r ∙ (σ − σ0 ∙ ∙ ω) = 0;
r ∙ (σ + σ 0 ∙ Ω(w)) = 0.
Рассмотрим уравнение равновесия в задаче (11), подставляя в них
выражения (12) и отбрасывая слагаемые ε(w) ∙ σ 0 и σ 0 ∙ ε(w), малые
по сравнению со слагаемыми σ0 ∙ Ω:
r ∙ (σ − 2ε (w) ∙ σ 0 − σ 0 ∙ ( ε(w) − Ω(w)) + σ0 I1 (ε )) ≈
≈ r ∙ ( σ + σ 0 ∙ Ω(w)) = r ∙ σ − σ 0 ∙ ∙( r ω ∙ ).
В результате получено уравнение равновесия, в точности совпада-
ющее с уравнением (13). Аналогично можно показать, что мало от-
личаются и граничные условия в задачах (10) и (11). Таким образом,
постановки задач теории устойчивости, полученные для различных
моделей нелинейно-упругих сред AI и AV , в случае малых деформаций
фактически совпадают с точностью до малых слагаемых, которыми,
как правило, можно пренебречь.
Последовательность решения задачи устойчивости следующая:
вначале решается задача (10) для основного состояния при μ = 1,
а затем вычисляется поле тензора напряжений σ 0 (1). В силу ли-
нейности задачи (10) любому другому значению параметра μ соот-
ветствует поле тензора напряжений σ0 ( μ), пропорциональное полю
σ 0 (1): σ 0 (μ) = μσ 0 (1). Подставляя это поле σ 0 (μ) в систему (14),
получаем задачу теории устойчивости, т.е. задачу на собственные зна-
чения, решением которой является система собственных значений μ
и собственных функций w.
Вариационная формулировка задачи теории устойчивости.
Для задачи (14) теории устойчивости можно записать вариационную
формулировку, которая играет важную роль при численном решении
задачи, например методами конечных и граничных элементов. Введем
понятие “вариация векторного поля” δ w(x) — поля, удовлетворяюще-
го кинематическому граничному условию δw | Σu = 0 . Учитывая, что
поле ξ w согласно формуле (4), приведенной в работе [9], представля-
ет собой вариацию радиус-вектора δ x = ξw материальных точек при
22 ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1