σ
=
4
C
∙ ∙
ε
(w);
ε
(w) =
1
2
(
r
w +
r
w
т
);
(10)
n
∙
(
σ
+
σ
0
∙ r
w + (
r ∙
w)
σ
0
)
Σ
σ
= 0
,
w
Σ
u
= 0
.
Для модели
A
I
уравнение теории устойчивости (76), приведенное
в работе [9], линеаризованное по формулам (1) и (4), для случая малых
деформаций принимает следующий вид:
r ∙
(
σ
−
2
ε
(w)
∙
σ
0
−
σ
0
∙ r
w
т
+
σ
0
(
r ∙
w)) = 0;
σ
=
4
C
∙ ∙
ε
(w);
ε
(w) =
1
2
(
r
w +
r
w
т
);
(11)
n
∙
(
σ
−
2
ε
(w)
∙
σ
0
−
σ
0
∙ r
w
т
+
σ
0
(
r ∙
w))
Σ
σ
= 0
,
w
Σ
u
= 0
.
Таким образом, линеаризованные постановки задач теории упруго-
сти в случае малых деформаций, полученные для разных нелинейно-
упругих сред (модель
A
I
или
A
V
), оказываются различными. Покажем,
что на самом деле это различие весьма мало, и им, как правило, можно
пренебречь. Для этой цели представим градиент вектора
r
w
в виде
разложения на симметричную и кососимметричную части [13]:
r
w =
ε
(w) + Ω(w) =
ε
(w)
− ∙
ω
;
(12)
Ω(w) =
1
2
(
r
w
− r
w
т
) =
− ∙
ω
;
ω
=
1
2
∙ ∙
Ω(w)
,
где — тензор Леви-Чивиты третьего ранга;
ω
— сопутствующий век-
тор.
Подставим выражение (12) в уравнение равновесия системы (10).
Предположим, что максимальные значения компонент тензоров
σ
и
σ
0
имеют один порядок, тогда в силу допущения (2) о малости компонент
тензора деформаций
ε
(w)
слагаемыми
σ
0
∙
ε
(w)
и
I
1
(
ε
)
σ
0
в уравнениях
равновесия и в граничных условиях системы (2) можно пренебречь
по сравнению с тензором напряжений
σ
. Здесь учтено, что
r ∙
w =
= E
∙ ∙r
w = E
∙ ∙
(
ε
−
Ω) =
I
1
(
ε
)
.
В то же время, поскольку в (2) никаких допущений о малости зна-
чений компонент тензора
Ω(w)
не сделано, пренебрегать слагаемым
σ
0
∙
Ω(w)
по сравнению с тензором
σ
нет оснований. Тогда уравнение
равновесия системы (2) преобразуем к виду
r ∙
(
σ
+
σ
0
∙ r
w + (
r ∙
w)
σ
0
) =
=
r ∙
(
σ
+
σ
0
∙
ε
(w) +
σ
0
∙
Ω(w) +
I
1
(
ε
)
σ
0
) =
=
r ∙
(
σ
−
σ
0
∙ ∙
ω
) =
r ∙
σ
−
(
r ∙
σ
0
)
∙ ∙
ω
−
σ
0
∙ ∙
(
r
ω
∙
)
.
(13)
Поскольку
r∙
σ
0
= 0
(уравнение равновесия в системе (9) в основ-
ном состоянии), задачу теории устойчивости (10) с учетом (13) можно
записать так:
r ∙
σ
−
σ
0
∙ ∙
(B
∙
) = 0;
(14)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
21
