переходе из устойчивой конфигурации
K
в неустойчивую
b
K
, вектор
δ
(
ξ
w) =
ξδ
w
можно рассматривать как “вариацию вариации”.
Умножим уравнение теории устойчивости в форме (14) скалярно
на вектор
δ
w
и выполним очевидное преобразование вида
δ
w
∙ r ∙
(
σ
+
σ
0
∙
Ω(w)) =
=
r ∙
((
σ
+
σ
0
∙
Ω(w))
∙
δ
w)
−
(
σ
+
σ
0
∙
Ω(w))
∙ ∙
δ
r
w
т
= 0
.
(15)
Интегрируя уравнение (15) по всей области
V
и применяя формулу
Гаусса – Остроградского, получим
Z
V
(
σ
+
σ
0
∙
Ω(w))
∙∙
δ
r
w
т
dV
−
Z
Σ
n
∙
(
σ
+
σ
0
∙
Ω(w))
∙
δ
w
d
Σ = 0
.
(16)
Используя граничные условия из задачи (14), находим, что поверх-
ностный интеграл в выражении (16) обращается в нуль, так как
Σ = Σ
σ
∪
Σ
u
, на части
Σ
σ
вектор
n
∙
(
σ
+
σ
0
∙
Ω)
обращается в нуль,
а на части
Σ
u
δ
w = 0
. В результате запишем итоговое вариационное
уравнение задачи теории устойчивости
Z
V
(
4
C
∙ ∙
ε
(w) +
σ
0
∙
Ω(
w
))
∙ ∙
δ
r
w
т
dV
= 0
.
(17)
Вариационная формулировка задачи теории устойчивости за-
ключается в нахождении собственных функций
w
и собственных
значений
μ
(как и ранее,
σ
0
(
μ
) =
μσ
0
(1))
, удовлетворяющих вариа-
ционному уравнению (17).
Уравнения трехмерной теории устойчивости в произвольном
базисе.
Компонентное представление задачи теории устойчивости (17)
в произвольном локальном базисе
r
i
имеет вид
r
i
σ
ij
−
(1
/
√
g
)
jmk
B
im
σ
0
i
k
= 0;
σ
ij
=
C
ijkl
ε
kl
;
ε
kl
=
1
2
(
r
k
w
l
+
r
l
w
k
);
(18)
B
m
i
=
r
i
ω
m
;
ω
m
=
1
2
√
g
mnk
Ω
kn
; Ω
kn
=
1
2
(
r
k
w
n
− r
n
w
k
);
n
i
σ
ij
−
1
√
g
jmk
ω
m
σ
0
i
k
Σ
σ
= 0
, w
i
Σ
u
= 0
.
Уравнения трехмерной теории устойчивости в ортогональном
базисе.
Если локальный базис
r
i
= ˆr
i
ортогонален, соответствует ор-
тогональным координатам
X
i
, то уравнения трехмерной теории устой-
чивости (14) в этом базисе имеют вид
(
H
β
H
γ
σ
αα
)
α
+(
H
α
H
γ
σ
αβ
)
β
+(
H
α
H
β
σ
αγ
)
γ
+
σ
αβ
H
γ
H
αβ
+
σ
αγ
H
β
H
αγ
−
−
σ
ββ
H
γ
H
βα
−
σ
γγ
H
β
H
γα
−
H
1
H
2
H
3
αmk
B
im
σ
0
ik
= 0
, α
6
=
β
6
=
γ
6
=
α.
(19)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2014. № 1
23
