Рис. 1. Вортон-отрезок
Завихренность движется в пространстве по траекториям жидких
частиц:
d~r
dt
=
~V
(
~r
)
.
(2)
Вихревой отрезок (вортон-отрезок) [9] характеризуется радиус-
векторами концов
~r
1
и
~r
2
и интенсивностью
Γ
(рис. 1).
Скорость, индуцируемая вортоном-отрезком в точке
~r
, равна
~V
(
~r
) =
Γ
4
π
c~a,
(3)
где
~a
= (
~r
−
~r
1
)
×
(
~r
2
−
~r
1
) ;
c
=
1
|
~a
|
2
(
~r
−
~r
1
)
∙
(
~r
2
−
~r
1
)
|
~r
−
~r
1
|
−
(
~r
−
~r
2
)
∙
(
~r
2
−
~r
1
)
|
~r
−
~r
2
|
.
(4)
Обычно правая часть уравнения (2) вычисляется для концов каждого
вортона непосредственно по формулам (3)–(4).
Рассмотрим иной подход к моделированию эволюции вортонов.
Каждый вортон будем характеризовать положением его центра
~r
0
, век-
тором
Δ
~r
(см. рис. 1) и интенсивностью
Γ
. Такой вортон является
симметричным относительно точки
~r
0
. Предполагается, что в процес-
се эволюции вихревого элемента точка
~r
0
движется по траектории
жидких частиц и всегда остается центром вортона. Ниже выведены
уравнения, описывающие изменение
Δ
~r
в процессе движения.
Уравнения движения симметричного вортона.
Запишем уравне-
ние (2) для концов вортона:
d
(
~r
0
+ Δ
~r
)
dt
=
~V
(
~r
0
+ Δ
~r
) ;
d
(
~r
0
−
Δ
~r
)
dt
=
~V
(
~r
0
−
Δ
~r
)
.
(5)
Скорость
~V
(
~r
)
может быть разложена в ряд Тейлора в окрестности
64
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
