точки
~r
0
с точностью до членов второго порядка:
~V
(
~r
0
±
Δ
~r
) =
~V
(
~r
0
)
±
grad
~V
(
~r
0
)
∙
Δ
~r
+
O
|
Δ
~r
|
2
.
Вычитая второе уравнение (5) из первого и пренебрегая членами выс-
шего порядка малости, получаем
d
(Δ
~r
)
dt
= grad
~V
(
~r
0
)
∙
Δ
~r.
(6)
Движение радиус-вектора центра вортона описывается уравнением
d~r
0
dt
=
~V
(
~r
0
)
.
(7)
Таким образом, движение симметричного вортона описывается систе-
мой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) 6-го порядка
(6)–(7). Интенсивность вортона
Γ
остается неизменной [9].
Моделирование пространственного течения.
Если распределе-
ние завихренности
~
Ω
в пространственном течении аппроксимируется
множеством из
N
вортонов-отрезков, интеграл в формуле (1) заменя-
ется суммой, слагаемые которой учитывают влияние отдельных ворто-
нов и вычисляются по формулам (3)–(4). Для симметричных вортонов
требуется решать систему ОДУ, полученную из уравнений (6)–(7):
d~r
0
i
dt
=
N
X
j
=1
~V
j
(
~r
0
i
);
d
(Δ
~r
i
)
dt
=
N
X
j
=1
ˆ
B
j
(
~r
0
i
)
!
∙
Δ
~r
i
, i
= 1
, N,
(8)
где
~r
0
i
= (
x
0
, y
0
, z
0
)
T
— центр
i
-го вортона;
~V
j
(
~r
0
i
)
— скорость, ин-
дуцированная
j
-м вортоном в точке
~r
0
i
; элементы матрицы
ˆ
B
j
(
~r
0
i
) =
= grad
~V
j
(
~r
0
i
)
вычисляются путем дифференцирования выражения (3):
ˆ
B
j
(
~r
0
i
) =
∂V
x
/∂x
0
∂V
x
/∂y
0
∂V
x
/∂z
0
∂V
y
/∂x
0
∂V
y
/∂y
0
∂V
y
/∂z
0
∂V
z
/∂x
0
∂V
z
/∂y
0
∂V
z
/∂z
0
.
(9)
Ниже приведены необходимые соотношения для вычисления компо-
нент скорости
~V
j
(
~r
0
i
)
и их производных, входящих в матрицу (9):
~s
0
=
~r
0
j
−
~r
0
i
;
~s
1
=
~s
0
+ Δ
~r
j
;
~s
2
=
~s
0
−
Δ
~r
j
;
s
1
=
|
~s
1
|
;
s
2
=
|
~s
2
|
; Δ
r
2
j
=
|
Δ
~r
j
|
2
;
~η
1
=
~s
1
|
~s
1
|
;
~η
2
=
~s
2
|
~s
2
|
;
~a
= 2 (
~s
0
×
Δ
~r
j
) ;
h
=
|
~a
|
2
;
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
65
