c
=
2 ((
~η
1
−
~η
2
)
∙
Δ
~r
j
)
h
;
K
= (
s
1
+
s
2
) Δ
r
2
j
−
(
s
1
−
s
2
) (Δ
~r
j
∙
~s
0
) ;
∂h
∂
(
~r
0
i
)
n
=
−
8 (
~s
0
)
n
Δ
r
2
j
−
(Δ
~r
j
)
n
∙
(Δ
~r
j
∙
~s
0
) ;
∂c
∂
(
~r
0
)
n
=
2
h
2
s
1
s
2
h
(
s
1
−
s
2
) (Δ
~r
j
)
n
−
∂h
∂
(
~r
0
i
)
n
K
+
+
2
h s
2
1
s
2
2
(Δ
~r
j
∙
~s
1
)
s
2
2
~η
1
−
(Δ
~r
j
∙
~s
2
)
s
2
1
~η
2
.
Тогда
~V
j
(
~r
0
i
) =
Γ
j
4
π
c~a
;
ˆ
B
j
(
~r
0
i
)
mn
=
∂
(
~V
)
m
∂
(
~r
0
)
n
=
Γ
j
4
π
∂c
∂
(
~r
0
i
)
n
∙
(
~a
)
m
−
2
c
X
k
ε
mnk
(Δ
~r
j
)
k
!
.
(10)
Здесь каждый из индексов
m, n, k
принимает значения
x, y, z
;
ε
mnk
—
символ Леви-Чивиты.
Расстояние от точки
~r
0
i
до оси
j
-го вортона (прямой, проходящей
через вортон-отрезок) вычисляется по формуле
d
ij
=
1
2
|
~a
|
|
Δ
~r
j
|
.
Чтобы исключить неограниченный рост скоростей
~V
j
(
~r
0
i
)
и их про-
изводных при приближении к осям вортонов, вводится радиус дис-
кретности
ε
по аналогии с вихрем Рэнкина [8]. Считается, что внутри
цилиндра радиуса
ε
вблизи каждого вортона, т.е. при
d
ij
< ε
, инду-
цированные им скорости и их производные убывают по линейному
закону до нуля на оси вортона.
В этом случае выражения (10) модифицируются:
~V
j
(
~r
0
i
) =
α ~V
j
(
~r
0
i
) ;
ˆ
B
j
(
~r
0
i
)
mn
=
α
ˆ
B
j
(
~r
0
i
)
mn
,
(11)
где
~r
0
i
=
~r
0
i
+
~δ α
−
1
−
1 ;
α
=
d
ij
ε
;
~δ
= Δ
~r
j
~s
0
∙
Δ
~r
j
Δ
r
2
j
−
~s
0
.
Таким образом, выражения (10) и (11) полностью определяют правые
части системы (8), которую условно запишем в виде
˙
~q
=
~f
(
~q
)
.
(12)
Начальными условиями для системы (12) являются положения ворто-
нов в момент времени
t
= 0
, т.е.
~q
(0) =
~q
0
.
66
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2008. № 4
