Допустим теперь, что задача имеет ещe одно решение в классе
функций, представимых интегралом (1), и пусть
˜
F
=
1
4
π
2
i
2
π
Z
0
dt
Z
|
ς
|
=1
˜
ψ
(
t, ς
)
dς
ς
−
u
,
где
˜
ψ
(
t, ς
)
2
λ
, означает разность этих двух решений. Тогда, в силу
формулы (6) должно быть
˜
F
δ
1
(
ς, o
)
−
˜
F
δ
2
(
ς, o
) = 0
,
т.е.
q
= 0
. Отсюда следует, что
˜
ψ
(
t, ς
)
≡
0
, поэтому
˜
F
≡
0
.
Замечание 1.
Если от искомой функции потребовать, чтобы на мно-
гообразии бесконечных точек она обращалась в наперeд заданное чис-
ло
А
, то решение задачи, как легко видеть, будет даваться формулой
F
(
z
1
, z
2
) =
A,
где
F
(
z
1
, z
2
)
есть интеграл (1).
Будем говорить, что функция
G
=
G
(
ς, l
1
, α
1
, l
2
, α
2
)
2
λ
2
,
eсли она допускает непрерывные частные производные по действи-
тельным переменным
l
k
,
d
k
,
|
l
k
|
<
2
π
,
|
d
k
|
6
π
,
k
= 1
,
2
, такие, что
∂G
∂l
k
+
∂G
∂α
k
=
(
−
1)
k
π
Gψ
(
l
k
+
α
k
, ς
) (
k
= 1
,
2)
,
∂G
∂l
k
−
∂G
∂α
k
=
(
−
1)
k
+1
π
Gψ
(
l
k
−
α
k
, ς
) (
k
= 1
,
2)
,
где
ψ
(
t, ς
)
2
λ
,
G
(
ς, l
1
, α
1
, l
1
, α
1
) = 1
.
Лемма 3.
Для того, чтобы функция
G
2
λ
2
, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось равенство
G
= exp
q
, где
q
2
λ
1
.
2. Однородная задача.
Требуется найти функцию
f
(
z
1
, z
2
)
класса
(
Т
)
, обращающуюся в единицу на многообразии бесконечных точек,
поверхностные пределы которой на многообразии бесконечных точек
в точках окружности особенностей
В
1
удовлетворяют соотношению
f
δ
1
(
ς, o
) =
G
(
ς, l
1
, α
1
, l
2
, α
2
)
f
δ
2
(
ς, o
)
,
(8)
где
G
2
λ
2
.
Решение.
Логарифмируя условие (8):
ln
f
δ
1
(
ς, o
) = ln
G
(
ς, l
1
, α
1
, l
2
, α
2
) + ln
f
δ
2
(
ς, o
)
,
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2007. № 1
