Для существования одного нулевого корня и двух корней с от-
рицательной действительной частью характеристического уравнения
достаточно выполнения следующих условий:
a
3
= 0
,
a
2
>
0
,
a
1
>
0
,
равносильных
x
1
x
2
x
3
= 0
,
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
)(1
−
ab
)
>
0
,
x
1
+
x
2
+
x
3
>
0
.
Подставляя выражения для
x
i
и учитывая, что
Δ
>
0
и
x
i
=
Δ
i
Δ
>
0
,
получаем
Δ
1
Δ
2
Δ
3
= 0
,
Δ
1
Δ
2
+ Δ
1
Δ
3
+ Δ
2
Δ
3
>
0
,
1
−
ab >
0
.
(4)
Первое уравнение этой системы распадается на совокупность трех
условий:
Δ
1
=
F
(
a, b
) + (
r
−
1)(
b
2
−
a
) = 0
,
при
Δ
2
Δ
3
>
0
,
Δ
2
=
F
(
a, b
) + (
r
−
1)(
a
2
−
b
) = 0
,
при
Δ
1
Δ
3
>
0
,
Δ
3
=
F
(
a, b
) + (
r
−
1)(1
−
ab
) = 0
,
при
Δ
1
Δ
2
>
0
.
(5)
Для существования двух нулевых решений и одного решения с от-
рицательной действительной частью характеристического уравнения
достаточно выполнения следующих условий:
a
3
= 0
,
a
2
= 0
,
a
1
>
0
,
равносильных
x
1
x
2
x
3
= 0
,
(
x
1
x
2
+
x
1
x
3
+
x
2
x
3
)(1
−
ab
) = 0
,
x
1
+
x
2
+
x
3
>
0
.
Подставляя выражения для
x
i
и учитывая, что
Δ
>
0
и
x
i
=
Δ
i
Δ
>
0
,
получаем два условия:
Δ
1
Δ
2
+ Δ
1
Δ
3
+ Δ
2
Δ
3
= 0
или
(
Δ
1
Δ
2
Δ
3
= 0
,
1
−
ab
= 0
.
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
63
