Случай одного нулевого корня.
Для исследования устойчивости
системы в этом критическом случае приведем систему (3) к специаль-
ному виду [3–5]:
dξ
dt
= Ξ(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
,
dξ
1
dt
=
p
11
ξ
1
+
p
12
ξ
2
+
p
1
ξ
+ Ξ
1
(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
,
dξ
2
dt
=
p
21
ξ
1
+
p
22
ξ
2
+
p
2
ξ
+ Ξ
2
(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
,
(7)
где
Ξ(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
и
Ξ
i
(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
,
i
= 1
,
2
— аналитические функции, раз-
ложения которых начинаются членами не ниже второго порядка.
Условия существования нулевого корня характеристического урав-
нения (5) автоматически приводят систему (3) к специальному виду.
Рассмотрим каждое из трех условий отдельно.
Будем предполагать, что
a
6
=
b
. Рассмотрим вначале случай
Δ
1
= 0
,
Δ
2
Δ
3
6
= 0
. Введем обозначение
r
=
r
0
= 1
−
F
(
a, b
)
b
2
−
a
.
При замене переменных
ξ
=
y
1
,
ξ
1
=
y
2
,
ξ
2
=
y
3
система (7) принимает вид
˙
ξ
=
−
(
ξ
+
bξ
1
+
aξ
2
)
ξ
= Ξ(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
,
˙
ξ
1
=
−
ax
2
ξ
−
x
2
ξ
1
−
bx
2
ξ
2
−
(
aξ
+
ξ
1
+
bξ
2
)
ξ
1
,
˙
ξ
2
=
−
bx
3
ξ
−
ax
3
ξ
1
−
x
3
ξ
2
−
(
bξ
+
aξ
1
+
ξ
2
)
ξ
2
.
(8)
Система (3) имеет решение
y
i
=
x
i
(
r
)
−
x
i
(
r
0
)
,
переходящее с учетом замены координат в следующее:
ξ
1
=
x
2
(
r
)
−
x
2
(
r
0
)
, ξ
2
=
x
3
(
r
)
−
x
3
(
r
0
)
, ξ
=
x
1
(
r
)
−
x
1
(
r
0
)
.
Это же решение является решением системы
−
(
ξ
+
bξ
1
+
aξ
2
)
ξ
= 0
,
−
ax
2
ξ
−
x
2
ξ
1
−
bx
2
ξ
2
−
(
aξ
+
ξ
1
+
bξ
2
)
ξ
1
= 0
,
−
bx
3
ξ
−
ax
3
ξ
1
−
x
3
ξ
2
−
(
bξ
+
aξ
1
+
ξ
2
)
ξ
2
= 0
.
Из последних двух уравнений системы получим
ξ
1
=
b
2
−
a
1
−
ab
ξ, ξ
2
=
a
2
−
b
1
−
ab
ξ.
64
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
