Приведем эту систему к “укороченному” виду [4]:
(
˙
ξ
1
=
e
Ξ
1
(
ξ
1
, ξ
2
)
,
˙
ξ
2
=
e
Ξ
2
(
ξ
1
, ξ
2
)
,
(11)
где
˜Ξ
i
(
ξ
1
, ξ
2
)
представляют собой разложения по степеням
ξ
1
и
ξ
2
функ-
ций
Ξ
i
(
ξ
1
, ξ
2
, u
(
ξ
1
, ξ
2
))
. Функцию
u
(
ξ
1
, ξ
2
)
будем искать как формаль-
ный ряд, удовлетворяющий уравнению в частных производных
−
∂u
(
ξ
1
, ξ
2
)
∂ξ
1
(
ξ
1
+
aξ
2
+
au
(
ξ
1
, ξ
2
)
ξ
1
)
−
−
∂u
(
ξ
1
, ξ
2
)
∂ξ
2
(
aξ
1
+
ξ
2
+
au
(
ξ
1
, ξ
2
)
ξ
2
) =
(12)
=
−
ax
3
ξ
1
−
ax
3
ξ
2
−
x
3
u
(
ξ
1
, ξ
2
)
−
(
aξ
1
+
aξ
2
+
u
(
ξ
1
, ξ
2
))
u
(
ξ
1
, ξ
2
)
.
(13)
В работе [4] было доказано, что при не зависящих от времени коэф-
фициентах системы (10) существует одно и только одно разложение
по степеням
ξ
i
u
=
u
(1)
(
ξ
1
, ξ
2
) +
u
(2)
(
ξ
1
, ξ
2
) +
. . . ,
формально удовлетворяющее уравнению (12), а задача устойчивости
системы (10) эквивалентна задаче устойчивости “укороченной” систе-
мы, если задача устойчивости решается конечным числом членов.
Решение уравнения (12) имеет вид
u
(
ξ
1
, ξ
2
) =
−
aξ
1
−
aξ
2
+(
a
2
−
1)
a
x
3
ξ
2
1
+2
a
2
a
−
1
x
3
ξ
1
ξ
2
+(
a
2
−
1)
a
x
3
ξ
2
2
+
. . . ,
и система (11) принимает вид
(
˙
ξ
1
= (
a
2
−
1)
ξ
2
1
+
a
(
a
−
1)
ξ
1
ξ
2
+ Ψ
1
(
ξ
1
, ξ
2
) =
e
Ξ
1
(
ξ
1
, ξ
2
) + Ψ
1
(
ξ
1
, ξ
2
)
,
˙
ξ
2
=
a
(
a
−
1)
ξ
1
ξ
2
+ (
a
2
−
1)
ξ
2
2
+ Ψ
2
(
ξ
1
, ξ
2
) =
e
Ξ
2
(
ξ
1
, ξ
2
) + Ψ
2
(
ξ
1
, ξ
2
)
,
где
Ψ
i
являются степенными рядами по
ξ
1
и
ξ
2
, начинающимися чле-
нами не меньше третьего порядка.
Введем две формы третьего порядка
(
P
(
ξ
1
, ξ
2
) =
ξ
1
e
Ξ
1
(
ξ
1
, ξ
2
) +
ξ
2
e
Ξ
2
(
ξ
1
, ξ
2
)
,
G
(
ξ
1
, ξ
2
) =
ξ
1
e
Ξ
2
(
ξ
1
, ξ
2
)
−
ξ
2
e
Ξ
1
(
ξ
1
, ξ
2
)
,
имеющие вид
(
P
(
ξ
1
, ξ
2
) = (
a
2
−
1)(
ξ
3
1
+
ξ
3
2
) +
a
(
a
−
1)(
ξ
1
+
ξ
2
)
ξ
1
ξ
2
,
G
(
ξ
1
, ξ
2
) = (1
−
a
)
ξ
1
ξ
2
(
ξ
1
−
ξ
2
)
.
Форма
G
(
ξ
1
, ξ
2
)
не является знакоопределенной, уравнение
G
(
ξ
1
, ξ
2
) = 0
определяет три прямые, проходящие через начало
68
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
