УДК 517.958:57
П. А. С а д о в с к и й
КРИТИЧЕСКИЕ СЛУЧАИ УСТОЙЧИВОСТИ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТРЕХВИДОВОЙ
ПОПУЛЯЦИИ
Исследована устойчивость системы уравнений, описывающих ма-
тематическую модель Лотки–Вольтерра трехвидовой конкурен-
ции, в предположении, что характеристическое уравнение систе-
мы имеет нулевой корень кратности не менее единицы. Получены
условия на коэффициенты, при которых система устойчива.
Рассмотрим математическую модель Лотки–Вольтерра трехвидо-
вой конкуренции, описываемую системой уравнений [1]
˙
x
1
=
x
1
(1
−
x
1
−
bx
2
−
ax
3
)
,
˙
x
2
=
x
2
(1
−
ax
1
−
x
2
−
bx
3
)
,
˙
x
3
=
x
3
(
r
−
bx
1
−
ax
2
−
x
3
)
,
x
i
(
t
)
,
i
= 1
,
2
,
3
— численность популяции
i
-го вида; положительные
коэффициенты
a
,
b
,
r
, характеризующие скорость изменения числен-
ности популяций, таковы, что система уравнений
x
1
+
bx
2
+
ax
3
= 1
,
ax
1
+
x
2
+
bx
3
= 1
,
bx
1
+
ax
2
+
x
3
=
r
имеет единственное положительное решение
x
i
=
x
i
>
0
.
Некритические случаи (с ненулевыми решениями характеристиче-
ского уравнения линеаризованной системы) такого варианта модели
подробно освещены в работах [1, 2]. В этой работе впервые иссле-
дуется устойчивость положения равновесия
M
(
x
1
, x
2
, x
3
)
в предполо-
жении, что характеристическое уравнение линеаризованной системы
имеет нулевые решения кратности не менее единицы, а ненулевые
решения характеристического уравнения имеют отрицательную дей-
ствительную часть. Случай, когда
a
=
b
= 1
, не рассматривается, так
как система с такими коэффициентами имеет либо бесконечно много,
либо ни одного решения.
Более подробное описание модели Лотки–Вольтерра и альтерна-
тивных моделей популяций можно найти в работе [2].
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
61
