Подставив выражения
ξ
1
(
ξ
)
и
ξ
2
(
ξ
)
в первое уравнение системы, будем
иметь
−
Δ
1
−
ab
ξ
= 0
.
Это уравнение отвечает решению
ξ
=
x
1
(
r
)
−
x
1
(
r
0
)
(при выполне-
нии всех условий, необходимых для существования нулевого корня
характеристического уравнения). Кроме того, два корня характери-
стического уравнения системы (8) (без первого уравнения системы)
имеют отрицательные действительные части.
Таким образом, с учетом всех этих характеристик мы получили
особенный случай
. Как было доказано в работе [4], невозмущенное
движение устойчиво, но не асимптотически. Кроме того, устойчиво
всякое возмущенное движение, достаточно близкое к невозмущенно-
му.
К такому же результату можно прийти, применив формально метод,
предложенный Ляпуновым и приведенный в работе [4]. Для устой-
чивости системы такого вида необходимо, чтобы степень младшего
члена разложения функции
Ξ(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
была нечетной, а коэффициент
при нем отрицателен, если сама система удовлетворяет следующим
ограничениям:
1)
Ξ(
ξ,
0
,
0)
не обращается тождественно в нуль;
2) степень младшего члена разложения
Ξ
i
(
ξ,
0
,
0)
не меньше сте-
пени младшего члена разложения
Ξ(
ξ,
0
,
0)
;
3) все коэффициенты при линейных членах системы равны нулю.
Для выполнения последнего требования выполним еще одну заме-
ну переменных:
ξ
1
=
u
1
(
ξ
)
, ξ
2
=
u
2
(
ξ
)
,
где функции
u
i
(
ξ
)
,
i
= 1
,
2
, являются решениями нелинейной системы
уравнений
(
−
ax
2
ξ
−
x
2
ξ
1
−
bx
2
ξ
2
−
(
aξ
+
ξ
1
+
bξ
2
)
ξ
1
= 0
,
−
bx
3
ξ
−
ax
3
ξ
1
−
x
3
ξ
2
−
(
bξ
+
aξ
1
+
ξ
2
)
ξ
2
= 0
.
Поскольку это система четвертого порядка, существует четыре ре-
шения:
ξ
1
=
−
x
2
, ξ
1
=
−
x
2
,
ξ
1
=
−
aξ
+
bx
3
, ξ
1
=
b
2
−
a
1
−
ab
ξ,
ξ
2
=
−
x
3
, ξ
2
=
−
bξ
+
ax
2
, ξ
2
=
−
x
3
,
ξ
2
=
a
2
−
b
1
−
ab
ξ.
Первые три решения не подходят (так как
ξ
i
6
=
const). Подставляя
четвертое решение в выражение для
Ξ
i
(
ξ, ξ
1
, ξ
2
)
, получаем
Ξ
1
≡
0
,
Ξ
2
≡
0
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2006. № 4
65
