Будем предполагать поле (1) стационарным. Как показано в [1],
достаточным условием этого является отсутствие корней уравнения
1
−
a
10
z
1
−
a
01
z
2
−
a
11
z
1
z
2
= 0
внутри единичного полидиска
|
z
1
| ≤
1
,
|
z
2
| ≤
1
.
Обозначим
ˆ
a
= (ˆ
a
10
,
ˆ
a
01
,
ˆ
a
11
)
T
оценку наименьших модулей па-
раметра
a
, построенную по наблюдениям
X
=
{
X
ij
}
,
i
= 0
, . . . , m
,
j
= 0
, . . . , n
. Другими словами,
ˆ
a
— точка минимума функции
L
(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
|
X
ij
−
a
10
X
i
−
1
,j
−
a
01
X
i,j
−
1
−
a
11
X
i
−
1
,j
−
1
|
.
(2)
Теорема.
Пусть функция распределения
F
(
x
)
и плотность
f
(
x
)
независимых одинаково распределенных случайных величин
ε
ij
в
(1)
удовлетворяет следующим условиям
:
F
(0) =
1
2
,
(3)
f
(0)
>
0
, f
(
x
)
непрерывна в нуле
,
(4)
Z
∞
−∞
|
f
0
(
x
)
|
dx <
∞
,
(5)
E
ε
ij
= 0
,
(6)
E
ε
2
ij
<
∞
.
(7)
Тогда при
m, n
→ ∞
случайный вектор
√
mn
(ˆ
a
−
a
)
асимптоти-
чески нормален с нулевым математическим ожиданием и ковариаци-
онной матрицей
1
4
f
2
(0)
R
−
1
,
где
R
=
r
0
,
0
r
1
,
−
1
r
0
,
−
1
r
−
1
,
1
r
0
,
0
r
−
1
,
0
r
0
,
1
r
1
,
0
r
0
,
0
,
а
r
α
−
p,β
−
q
=
E
(
X
αβ
X
pq
)
,
(
α, β
)
2 I
,
(
p, q
)
2 I
.
Доказательство.
Обозначим для всех
i
= 1
, . . . , m
,
j
= 1
, . . . , n
u
ij
=
1
√
mn
(
b
10
X
i
−
1
,j
+
b
01
X
i,j
−
1
+
b
11
X
i
−
1
,j
−
1
)
,
v
ij
=
|
ε
ij
−
u
ij
| − |
ε
ij
|
, z
ij
=
u
ij
sign(
ε
ij
)
, w
ij
=
v
ij
+
z
ij
.
Отметим, что
ˆ
a
минимизирует (2) тогда и только тогда, когда
ˆ
b
=
26
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
