Отметим, что
|
x
−
t
| − |
x
|
+
t
sign(
x
) =
2(
t
−
x
)
, t > x >
0
,
2(
x
−
t
)
, t < x <
0
,
0
,
иначе
.
Поэтому
||
x
−
t
| − |
x
|
+
t
sign(
x
)
| ≤
2
|
t
|
I
{|
t
| ≥ |
x
|}
.
Отсюда, из (7) и из того, что при
m, n
→ ∞
P
{|
u
11
|
>
√
mn
|
ε
11
|} →
0
,
получим в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега
E
L
2
3
≤
m
X
i
=1
n
X
j
=1
E
(4
u
2
ij
I
{|
u
ij
|
>
|
ε
ij
|}
) =
= 4
E
[
u
2
11
I
{|
u
11
|
>
√
mn
|
ε
11
|}
]
→
0
, m, n
→ ∞
.
Таким образом,
L
3
=
o
p
(1)
при
m, n
→ ∞
.
Итак,
L
=
f
(0)
b
T
Rb
+
η
T
b
+
r
(
b
)
,
где
r
(
b
) =
o
p
(1)
при
m, n
→ ∞
.
Обозначим
b
=
−
1
2
f
(0)
R
−
1
η.
Отметим, что
b
асимптотически нормален с математическим ожи-
данием
0
и ковариационной матрицей
1
4
f
2
(0)
R
−
1
. Покажем, что
ˆ
b
−
b
=
o
p
(1)
, откуда будет следовать утверждение теоремы. Другими
словами, зафиксируем
ε >
0
и
ε
1
>
0
и покажем, что существуют
m
0
и
n
0
такие, что для любых
m > m
0
,
n > n
0
справедливо
P
{|
ˆ
b
−
b
|
> ε
}
< ε
1
.
Обозначим
U
шар радиуса
ε
с центром в
b
, а
S
его границу. Так
как
b
=
o
p
(1)
, то существует компакт
K
2
R
3
и существуют
m
1
,
n
1
такие, что
P
{
U
6
2
K
}
< ε
1
для любых
m > m
1
,
n > n
1
. Так как
R
положительно определена, то
γ
= inf
|
z
|
=
ε
z
T
Rz >
0
.
Известно [7, 8], что сходящаяся по вероятности на выпуклом множе-
стве последовательность выпуклых функций сходится равномерно на
любом компактном подмножестве, т. е.
r
(
b
)
→
0
равномерно на
K
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
29
