Поэтому существуют
m
2
,
n
2
такие, что для любых
m > m
2
,
n > n
2
sup
b
2
K
|
r
(
b
)
|
<
γf
(0)
2
.
Рассмотрим луч
b
(
t
) =
b
+
zt
,
t >
0
, произвольного направления
z
,
|
z
|
=
ε
, выходящий из точки
b
и пересекающий
S
в точке
b
(1)
. Так
как
L
(
b
)
выпукла, то при
t
≥
1
L
(
b
(1))
≤
1
t
L
(
b
(
t
)) +
t
−
1
t
L
(
b
)
.
Отметим, что
L
(
b
(1)) =
L
(
b
) +
f
(0)
z
T
Rz
+
r
(
b
(1))
−
r
(
b
)
.
Поэтому для всех
t
≥
1
для любых
m > m
2
,
n > n
2
L
(
b
(
t
))
≥
L
(
b
) +
t f
(0)
z
T
Rz
−
2
γf
(0)
2
≥
L
(
b
)
.
Следовательно, для любых
m > m
0
= max
{
m
1
, m
2
}
,
n > n
0
=
= max
{
n
1
, n
2
}
P
{
inf
t
≥
1
|
z
|
=
ε
L
(
b
(
t
))
≥
L
(
b
)
}
>
1
−
ε
1
,
т. е. для любых
m > m
0
,
n > n
0
P
{|
ˆ
b
−
b
|
< ε
} ≥
1
−
ε
1
.
Теорема доказана.
Отметим, что условия теоремы справедливы для основных ти-
пов вероятностных распределений
ε
ij
— нормального, логистическо-
го, двойного экспоненциального (Лапласа), равномерного, Стьюдента
с числом степеней свободы, б´ольшим, чем 2.
Сравнение оценок наименьших модулей и наименьших ква-
дратов при нарушении предположения нормальности инноваци-
онного процесса
ε
ij
. Оценка наименьших квадратов
˜
a
определяется
как точка минимума функции
Λ(
a
) =
m
X
i
=1
n
X
j
=1
(
X
ij
−
a
10
X
i
−
1
,j
−
a
01
X
i,j
−
1
−
a
11
X
i
−
1
,j
−
1
)
2
.
В [1] показано, что вектор
√
mn
(˜
a
−
a
)
асимптотически нормален
с нулевым математическим ожиданием и ковариационной матрицей
σ
2
R
−
1
, где
σ
2
— дисперсия
ε
ij
.
Согласно асимптотической теории оптимальности [9, гл. 5, 6] из
двух состоятельных асимптотически нормальных оценок лучшей бу-
дет оценка с меньшей асимптотической дисперсией, а отношение этих
30
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2011. № 1
